KPSS MatematikZorluk: Orta
a ve b pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
a√a + b√b = 18
√a + √b = 3
olduğuna göre, a · b çarpımının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: B) 1
İlk olarak, a√a ifadesi (√a)³ olarak yazılabilir. Bu durumda verilen ilk denklem (√a)³ + (√b)³ = 18 olur. Küpler toplamı özdeşliği kullanılır: x³ + y³ = (x+y)(x² - xy + y²).
x = √a ve y = √b alırsak;
(√a + √b)(a - √ab + b) = 18
Verilen √a + √b = 3 değerini yerine koyarsak: 3 · (a - √ab + b) = 18, buradan a + b - √ab = 6 bulunur.
Diğer yandan, √a + √b = 3 denkleminin karesi alınırsa: (√a + √b)² = 3² ⇒ a + b + 2√ab = 9 olur.
Elde edilen iki denklemi (a + b + 2√ab = 9 ve a + b - √ab = 6) birbirinden çıkarırsak 3√ab = 3 olur. Buradan √ab = 1 ve her iki tarafın karesi alındığında a · b = 1 bulunur.
x = √a ve y = √b alırsak;
(√a + √b)(a - √ab + b) = 18
Verilen √a + √b = 3 değerini yerine koyarsak: 3 · (a - √ab + b) = 18, buradan a + b - √ab = 6 bulunur.
Diğer yandan, √a + √b = 3 denkleminin karesi alınırsa: (√a + √b)² = 3² ⇒ a + b + 2√ab = 9 olur.
Elde edilen iki denklemi (a + b + 2√ab = 9 ve a + b - √ab = 6) birbirinden çıkarırsak 3√ab = 3 olur. Buradan √ab = 1 ve her iki tarafın karesi alındığında a · b = 1 bulunur.