KPSS MatematikZorluk: Orta
|x + 3| + |x - 9| ≤ 14 eşitsizliğini sağlayan farklı x tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: D) 45
Mutlak değerlerin içini sıfır yapan kritik noktalar x = -3 ve x = 9'dur. Bu noktalara göre sayı doğrusu üç bölgeye ayrılır.
1) x < -3 için: -(x+3) - (x-9) ≤ 14 → -2x + 6 ≤ 14 → x ≥ -4. Bu aralıktaki çözüm [-4, -3)'tür.
2) -3 ≤ x ≤ 9 için: (x+3) - (x-9) ≤ 14 → 12 ≤ 14. Bu aralıktaki tüm sayılar eşitsizliği sağlar: [-3, 9].
3) x > 9 için: (x+3) + (x-9) ≤ 14 → 2x - 6 ≤ 14 → x ≤ 10. Bu aralıktaki çözüm (9, 10]'dur.
Tüm çözüm aralıkları birleştirildiğinde [-4, 10] aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar: -4, -3, ..., 9, 10. Bu sayıların toplamı (-4+...+4) + (5+6+7+8+9+10) = 0 + 45 = 45'tir.
1) x < -3 için: -(x+3) - (x-9) ≤ 14 → -2x + 6 ≤ 14 → x ≥ -4. Bu aralıktaki çözüm [-4, -3)'tür.
2) -3 ≤ x ≤ 9 için: (x+3) - (x-9) ≤ 14 → 12 ≤ 14. Bu aralıktaki tüm sayılar eşitsizliği sağlar: [-3, 9].
3) x > 9 için: (x+3) + (x-9) ≤ 14 → 2x - 6 ≤ 14 → x ≤ 10. Bu aralıktaki çözüm (9, 10]'dur.
Tüm çözüm aralıkları birleştirildiğinde [-4, 10] aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar: -4, -3, ..., 9, 10. Bu sayıların toplamı (-4+...+4) + (5+6+7+8+9+10) = 0 + 45 = 45'tir.