KPSS MatematikZorluk: Orta
x ve y iki basamaklı pozitif tam sayılar olmak üzere,
x2 - y2 = 315
eşitliği veriliyor. Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: B) 4
Verilen eşitlik, iki kare farkı özdeşliği kullanılarak (x - y)(x + y) = 315 şeklinde yazılabilir. x ve y pozitif tam sayılar olduğundan, (x - y) ve (x + y) sayıları 315'in pozitif tam bölenleridir. Ayrıca, x + y > x - y olmalıdır. 315'in çarpanları düşünülerek olası (x - y, x + y) ikilileri bulunur:
(1, 315), (3, 105), (5, 63), (7, 45), (9, 35), (15, 21).
Bu ikililerden x ve y değerleri bulunur (x = ((x+y) + (x-y))/2):
1. (x-y=3, x+y=105) ise x=54, y=51 (İkisi de iki basamaklı)
2. (x-y=5, x+y=63) ise x=34, y=29 (İkisi de iki basamaklı)
3. (x-y=7, x+y=45) ise x=26, y=19 (İkisi de iki basamaklı)
4. (x-y=9, x+y=35) ise x=22, y=13 (İkisi de iki basamaklı)
Diğer durumlarda x veya y iki basamaklı olmaz (örneğin x-y=15, x+y=21 için y=3 olur). Dolayısıyla, koşulu sağlayan 4 farklı x değeri vardır.
(1, 315), (3, 105), (5, 63), (7, 45), (9, 35), (15, 21).
Bu ikililerden x ve y değerleri bulunur (x = ((x+y) + (x-y))/2):
1. (x-y=3, x+y=105) ise x=54, y=51 (İkisi de iki basamaklı)
2. (x-y=5, x+y=63) ise x=34, y=29 (İkisi de iki basamaklı)
3. (x-y=7, x+y=45) ise x=26, y=19 (İkisi de iki basamaklı)
4. (x-y=9, x+y=35) ise x=22, y=13 (İkisi de iki basamaklı)
Diğer durumlarda x veya y iki basamaklı olmaz (örneğin x-y=15, x+y=21 için y=3 olur). Dolayısıyla, koşulu sağlayan 4 farklı x değeri vardır.