KPSS MatematikZorluk: Orta
Doğal sayılar kümesi (ℕ) üzerinde bir β bağıntısı, ∀x, y ∈ ℕ için x β y ⇔ x·y çarpımı bir tam kare sayıdır, şeklinde tanımlanıyor. Bu bağıntı;
I. Yansıma
II. Simetri
III. Geçişme
özelliklerinden hangilerini sağlar?
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: E) I, II ve III
I. Yansıma: Her x ∈ ℕ için x·x = x² bir tam karedir. Sağlar.
II. Simetri: x·y bir tam kare ise, y·x de bir tam karedir (çarpma değişme özelliği). Sağlar.
III. Geçişme: x·y = a² ve y·z = b² olsun. (x·y)·(y·z) = x·z·y² = (a·b)². Buradan x·z = (ab/y)² olur. x, y, z sayılarının asal çarpanlarının üslerinin çiftlik/teklik durumu incelendiğinde, x ile y'nin ve y ile z'nin üs pariteleri aynı ise, x ile z'nin de aynı olur. Bu nedenle x·z de tam karedir. Sağlar. Dolayısıyla bu bir denklik bağıntısıdır.
II. Simetri: x·y bir tam kare ise, y·x de bir tam karedir (çarpma değişme özelliği). Sağlar.
III. Geçişme: x·y = a² ve y·z = b² olsun. (x·y)·(y·z) = x·z·y² = (a·b)². Buradan x·z = (ab/y)² olur. x, y, z sayılarının asal çarpanlarının üslerinin çiftlik/teklik durumu incelendiğinde, x ile y'nin ve y ile z'nin üs pariteleri aynı ise, x ile z'nin de aynı olur. Bu nedenle x·z de tam karedir. Sağlar. Dolayısıyla bu bir denklik bağıntısıdır.