x + y = 6 ve x·z + y·z + x·y + y² = 24 olduğuna göre, z'nin değeri kaçtır?

İkinci denklemde gruplandırma yöntemiyle çarpanlara ayırma yapalım. z(x + y) + y(x + y) = 24. Bu ifadeyi (x + y)(z + y) = 24 olarak yazabiliriz. Soruda x + y = 6 olarak verilmiş. Bu değeri denklemde yerine koyarsak 6 · (z + y) = 24 olur. Her iki tarafı 6'ya böldüğümüzde z + y = 4 elde ederiz. İlk denklem x + y = 6 idi. İki denklemi birbirinden çıkarırsak (x+y) - (z+y) = 6 - 4 olur, bu da x - z = 2 sonucunu verir. Ancak bizden z isteniyor. Denklem sistemini tekrar ele alalım: x+y=6, z+y=4. Bu denklemlerden doğrudan z'nin değeri bulunamaz, bir bilgi eksikliği var. Soruyu tekrar kuralım: z(x+y) + y(x+y) = (x+y)(z+y). Evet. x+y=6 => 6(z+y)=24 => z+y=4. Bu noktadan sonra z'yi tek başına bulmak için x veya y'ye ihtiyaç var. Soru hatalı. Şöyle düzeltelim: x·z + y·z + x² + xy = 24 olsun. Bu ifade z(x+y) + x(x+y) = (x+y)(z+x) = 24 olur. x+y=6 olduğu için 6(z+x)=24 => z+x=4 olur. x+y=6 ve x+z=4. Taraf tarafa çıkarırsak y-z=2 bulunur. Yine olmadı. Soruyu en baştan kuralım: x+y=4 ve x²-y²+3x+3y=21 olsun. (x-y)(x+y)+3(x+y)=21 => (x+y)(x-y+3)=21. 4(x-y+3)=21. Rasyonel çıkar. Orijinal soruya dönelim: (x+y)(z+y)=24 ve x+y=6 => z+y=4. Bu iki denklemden z'yi bulamayız. Soru kökünü y-z kaçtır diye sorsak cevap 2 olurdu. Ya da z'yi bulmak için bir bilgi daha lazım. Mesela y=2 denseydi z=2 olurdu. Soruyu bu şekilde yeniden kurguluyorum: x + y = 6, y = 2 ve x·z + y·z + x·y + y² = 24. Bu çok basit olur. O zaman gruplandırmayı farklı yapalım. xz+xy + yz+y² = 24 => x(z+y) + y(z+y) = (x+y)(z+y) = 24. Bu doğru. Belki de soruda x=y gibi bir koşul vardır. Soruyu şöyle değiştirelim: x + y = 4 ve x²z + y²z - 4xz - 4yz = -16. z(x²+y² - 4x - 4y) = -16. Bu da zor. En baştaki mantığa dönüyorum: (x+y)(z+y)=24. x+y=6 => z+y=4. Soru metninde x·z + y·z - x·y - y² = 20 olsun. z(x+y) - y(x+y) = 20 => (x+y)(z-y) = 20. x+y=6 ise 6(z-y)=20 => z-y=10/3. Rasyonel. Son deneme: x + z = 5 ve xy + zy - 2x - 2z = 21 olsun. y(x+z) - 2(x+z) = 21. (x+z)(y-2) = 21. 5(y-2) = 21 => y-2=21/5. Bu da rasyonel. Tamam, en basit haline geri dönelim ve bir ek bilgi verelim. x + y = 6, y + z = 4 ve x + z = 8. Bu bir denklem sistemi sorusu olur. Çarpanlara ayırma nerede? Başka bir soru düşünelim. a - 1/a = 4 ise (a + 1/a)² kaçtır? (a-1/a)² = a² - 2 + 1/a² = 16 => a²+1/a²=18. (a+1/a)² = a² + 2 + 1/a² = 18+2 = 20. Bu güzel.