Bir N pozitif tam sayısının rakamları toplamı S(N) ile gösterilmektedir. Buna göre, S(S(S(4444⁴⁴⁴⁴))) ifadesinin değeri kaçtır?

Bir sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan, sayının kendisinin 9 ile bölümünden kalana eşittir. Let A = 4444⁴⁴⁴⁴. Önce 4444'ün 9 ile bölümünden kalanı bulalım: 4+4+4+4=16, 16'nın 9 ile bölümünden kalan 7'dir. O halde A ≡ 7⁴⁴⁴⁴ (mod 9). 7'nin kuvvetleri mod 9'da (7, 4, 1) şeklinde 3'te bir tekrar eder. 4444'ün 3'e bölümünden kalan 1 olduğu için, A ≡ 7¹ ≡ 7 (mod 9). Dolayısıyla S(A), S(S(A)) ve S(S(S(A))) sayılarının da 9 ile bölümünden kalan 7'dir. Sayı çok büyük olduğu için rakamları toplamı da büyük olacaktır. Ancak bu işlem tekrarlandıkça sonuç küçülür. 4444 < 10⁴ olduğundan, 4444⁴⁴⁴⁴ < (10⁴)⁴⁴⁴⁴ = 10¹⁷⁷⁷⁶. Yani sayı en fazla 17776 basamaklıdır. S(A) ≤ 9 × 17776 = 159984. S(S(A)) ≤ S(99999) = 45. S(S(S(A))) ≤ S(39) = 12. Sonuç 12'den küçük veya eşit ve 9'a bölündüğünde 7 kalanını veren bir sayıdır. Bu şartı sağlayan tek pozitif tam sayı 7'dir.