KPSS MatematikZorluk: Orta
A, B ve C birbirinden farklı ve sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere, AB, BC ve CA iki basamaklı doğal sayılardır. Bu üç sayının toplamı bir tam kare sayıya eşit olduğuna göre, A + B + C toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: B) 11
İki basamaklı AB, BC ve CA sayıları için basamak çözümlemesi yapalım:
AB = 10A + B
BC = 10B + C
CA = 10C + A
Bu üç sayının toplamı: (10A + B) + (10B + C) + (10C + A) = 11A + 11B + 11C = 11(A + B + C).
Soruda bu toplamın bir tam kare sayı olduğu belirtilmiştir. Yani, 11(A + B + C) = k² şeklinde bir eşitlik vardır. Bu ifadenin bir tam kare olabilmesi için (A + B + C) toplamının 11'in bir katı olması ve aynı zamanda bu çarpımın bir tam kare olması gerekir. Bu durumda A + B + C = 11 olmalıdır ki 11·11 = 11² olsun. A, B ve C birbirinden farklı ve sıfırdan farklı rakamlar olduğundan, alabilecekleri en küçük toplam 1+2+3=6, en büyük toplam ise 7+8+9=24'tür. Bu aralıkta 11'in tek katı 11'dir. Dolayısıyla A + B + C = 11 olmalıdır.
AB = 10A + B
BC = 10B + C
CA = 10C + A
Bu üç sayının toplamı: (10A + B) + (10B + C) + (10C + A) = 11A + 11B + 11C = 11(A + B + C).
Soruda bu toplamın bir tam kare sayı olduğu belirtilmiştir. Yani, 11(A + B + C) = k² şeklinde bir eşitlik vardır. Bu ifadenin bir tam kare olabilmesi için (A + B + C) toplamının 11'in bir katı olması ve aynı zamanda bu çarpımın bir tam kare olması gerekir. Bu durumda A + B + C = 11 olmalıdır ki 11·11 = 11² olsun. A, B ve C birbirinden farklı ve sıfırdan farklı rakamlar olduğundan, alabilecekleri en küçük toplam 1+2+3=6, en büyük toplam ise 7+8+9=24'tür. Bu aralıkta 11'in tek katı 11'dir. Dolayısıyla A + B + C = 11 olmalıdır.