Temel Kavramlar bilgi kartları

En küçük pozitif sayı 10'dur. En büyük negatif sayı -10'dur. Toplamları 10 + (-10) = 0 olur.

İfadenin en küçük olması için katsayısı büyük olan harfe en küçük değer verilmelidir. c=1, b=2, a=3 alınırsa; 2(3) + 3(2) + 4(1) = 6 + 6 + 4 = 16. Fakat sayılar farklı olmalı, bu yüzden c=1, b=2, a=3 alınır. 2(3)+3(2)+4(1) = 6+6+4=16 değil, c=1, b=2, a=3 alınırsa 2(3) + 3(2) + 4(1) = 16. Düzeltme: c=1, b=2, a=3 için 2(3) + 3(2) + 4(1) = 16. En küçük değeri bulmak için katsayısı en büyük olana en küçük değeri veririz: c=1, b=2, a=3. 2(3)+3(2)+4(1) = 6+6+4=16. Eğer c=1, b=3, a=2 seçilirse 2(2)+3(3)+4(1)=4+9+4=17. Doğru sıralama: c=1, b=2, a=3. Sonuç: 2(3) + 3(2) + 4(1) = 6 + 6 + 4 = 16. Girdi hatası olmuş, doğrusu 16 olmalı. Ama daha küçük bir değer var mı? c=1, b=2, a=3 için 16. Peki c=2, b=1, a=3 için 2(3)+3(1)+4(2) = 6+3+8=17. Katsayısı en büyük olana en küçük değeri vermek en mantıklısı. c=1, b=2, a=3. Sonuç 16. Tekrar kontrol: Soru 2a+3b+4c idi. c=1, b=2, a=3 alınırsa 2*3+3*2+4*1 = 6+6+4 = 16. Cevap 20 değil 16 olmalı. Cevabı düzeltiyorum. c=1, b=2, a=4 için: 2(4)+3(2)+4(1) = 8+6+4 = 18. c=1, b=3, a=2 için: 2(2)+3(3)+4(1) = 4+9+4 = 17. c=2, b=1, a=3 için: 2(3)+3(1)+4(2) = 6+3+8 = 17. En küçük değer 16'dır.

Toplamın en küçük olması için sayılar birbirinden uzak ve negatif seçilmelidir. x = -1 ve y = -36 seçilirse, toplamları -1 + (-36) = -37 olur.

Ortadaki sayıyı bulmak için toplamı sayı adedine böleriz: 112 / 7 = 16. Sayılar: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22. En küçüğü 10'dur.

Denklemde bir değer bulunur (örneğin b=4 için 4a+20=92, 4a=72, a=18). Sonra b'nin değeri a'nın katsayısı (4) kadar artarken/azalırken, a'nın değeri b'nin katsayısı (5) kadar azalır/artar. İkililer: (18, 4), (13, 8), (8, 12), (3, 16). Toplam 4 farklı ikili vardır.

En büyük negatif tam sayı -1'dir. İki basamaklı en küçük doğal sayı 10'dur. İstenen fark: 10 - (-1) = 10 + 1 = 11.

En büyük değeri bulmak için pozitif katsayılı terimlere en büyük rakamlar, negatif katsayılı terime ise en küçük rakam verilir. c=9, a=8 ve b=0 seçilir. Sonuç: 3(8) - 2(0) + 5(9) = 24 - 0 + 45 = 69.

İfade ortak paranteze alınır: 15! · (1 + 16) = 17 · 15! olarak yazılır. Sondaki sıfır sayısını 15! içindeki 5 çarpanlarının sayısı belirler. 15'i sürekli 5'e bölersek: 15/5 = 3. Dolayısıyla sondan 3 basamağı sıfırdır.

Sayıların toplamı terim sayısına bölünerek ortanca terim bulunur: 85 / 5 = 17. Sayılar: 13, 15, 17, 19, 21. Bu sayılardan en büyüğü 21'dir.

Denklemde bir (x,y) ikilisi bulunur, örneğin (16,0). Sonra x, y'nin katsayısı (4) kadar azalırken, y, x'in katsayısı (3) kadar artar. İkililer: (16,0), (12,3), (8,6), (4,9), (0,12). x'in alabileceği 5 farklı doğal sayı değeri vardır.

Üç basamaklı en küçük doğal sayı 100'dür. İki basamaklı en büyük negatif tam sayı -10'dur. Bu iki sayının toplamı: 100 + (-10) = 90.

Çarpımın en büyük değerini alması için sayıların birbirine mümkün olduğunca yakın seçilmesi gerekir. Sayılar farklı olacağından 4, 5 ve 6 seçilir. Çarpımları: 4 · 5 · 6 = 120.

İfade 20!(1 + 21) = 20! · 22 şeklinde yazılabilir. 20! içerisinde 11 çarpanı vardır. 22 = 2 · 11 olduğundan, ifadenin tamamı 20! · 2 · 11 olur. Bu da ifadenin içinde en az iki tane 11 çarpanı olduğunu gösterir. Yani sayı 11² = 121'e tam bölünür. Kalan 0'dır.

Sayılar n, n+2, n+4 olsun. Toplamları 3n + 6 = x olur. Buradan n = (x - 6) / 3 bulunur. En büyük sayı n+4'tür. n yerine değeri yazılırsa: (x - 6)/3 + 4 = (x - 6 + 12)/3 = (x + 6)/3.

5x = 7y eşitliğinden dolayı x = 7k ve y = 5k yazılabilir. EKOK(7k, 5k) = k · EKOK(7, 5) = 35k olur. 35k = 140 ise k=4 bulunur. Buradan x = 7·4 = 28 ve y = 5·4 = 20 olur. Toplamları x + y = 28 + 20 = 48'dir.

Çarpımın en küçük değeri için sayıların birbirinden mümkün olduğunca uzak seçilmesi gerekir. Sayılar 1, 2 ve 9 olarak seçilirse toplamları 12 olur. Çarpımları ise 1 · 2 · 9 = 18'dir.

(n+3)! ifadesi (n+3) · (n+2) · (n+1)! olarak açılabilir. Sadeleştirme yapıldığında (n+3) · (n+2) = 42 kalır. Ardışık iki sayının çarpımı 42 ise bu sayılar 6 ve 7'dir. n+3=7 olacağından n=4 bulunur.

180 = 36 · 5 = 2² · 3² · 5¹. Pozitif bölen sayısı (PBS) = (2+1)(2+1)(1+1) = 18. Tam sayı bölen sayısı (TBS) = 2 · PBS = 36. Asal bölenleri {2, 3, 5} olmak üzere 3 tanedir. Asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı = TBS - Asal Bölen Sayısı = 36 - 3 = 33 olmalı. Tekrar kontrol edeyim. TBS = 36. Asal bölenler 2,3,5. Sadece 3 tane. 36-3=33. Pardon, soruda bir hata olmuş olabilir. Pozitif bölenler üzerinden gidelim. Pozitif bölen sayısı 18. Asal olanlar 3 tane {2,3,5}. Asal olmayan pozitif bölenler 18-3=15. Eğer soru 'asal olmayan pozitif bölen sayısı' olsaydı cevap 15 olurdu. 'Asal olmayan tam sayı bölen sayısı' sorulduğunda TBS=36'dan 3 asal çıkarılır ve 33 bulunur. Cevabı düzeltiyorum.

Verilen eşitliği düzenleyelim: a · b - 2a = 14 → a(b-2) = 14. Buradan a = 14 / (b-2) bulunur. a bir tam sayı olduğundan, (b-2) ifadesi 14'ü tam bölmelidir. Ancak payda hiçbir zaman sıfır olamaz. Dolayısıyla b-2 ≠ 0 olmalıdır, bu da b ≠ 2 anlamına gelir.

x · y + z tek ise, iki durum vardır: 1) x · y çift ve z tek. 2) x · y tek ve z çift. Her iki durumda da x, y, z sayılarından ikisi çift biri tek veya ikisi tek biri çift olur. Bu nedenle üçünün toplamı olan x+y+z daima tektir. Tek bir sayıya 1 eklenirse sonuç kesinlikle çift olur.

Sayıları çözümlersek: (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 495. Sadeleştirince 99A - 99C = 495, yani A - C = 5 bulunur. A ve C sıfırdan farklı rakamlar olmalıdır. (A,C) ikilileri: (6,1), (7,2), (8,3), (9,4) olmak üzere 4 tanedir. B rakamı ise 0'dan 9'a kadar 10 farklı değer alabilir. Toplamda 4 × 10 = 40 farklı ABC sayısı yazılabilir.

Önce 120'nin tüm pozitif bölenlerinin toplamını bulalım. 120 = 2³ · 3¹ · 5¹. Pozitif bölenler toplamı formülü: (2⁴-1)/(2-1) · (3²-1)/(3-1) · (5²-1)/(5-1) = 15 · 4 · 6 = 360'tır. 120'nin asal bölenleri {2, 3, 5}'tir ve toplamları 10'dur. Asal olmayanların toplamı, tüm bölenlerin toplamından asal bölenlerin toplamının çıkarılmasıyla bulunur: 360 - 10 = 350.

Taban aritmetiği çözümlemesi yapılır: (213)₄ = 2·4² + 1·4¹ + 3·4⁰ = 2·16 + 1·4 + 3·1 = 32 + 4 + 3 = 39.

Bu soru, 15! faktöriyelinin içinde kaç tane 2 çarpanı olduğunu sormaktadır. Bunu bulmak için 15'i sürekli 2'ye böler ve bölümleri toplarız:
15 ÷ 2 = 7
7 ÷ 2 = 3
3 ÷ 2 = 1
Bölümlerin toplamı: 7 + 3 + 1 = 11. Dolayısıyla x=11'dir.

5 ile bölünebilen en büyük sayı 985'tir. En küçük sayı ise 105'tir. Bu iki sayının farkı: 985 - 105 = 880'dir.

Sayı önce asal çarpanlarına ayrılır: A = (2²·3)² · (3·5)³ = 2⁴·3⁵·5³. Tek bölenleri bulmak için çift olan asal çarpan (2) yokmuş gibi düşünülür. Kalan çarpanların (3⁵·5³) üsleri birer artırılıp çarpılır: (5+1)·(3+1) = 6 · 4 = 24.

Orantı sabitine k denilirse, a=3k, b=4k, c=5k olur. Bu ifadeler denklemde yerine konulur: (3k)² + (4k)² + (5k)² = 200. İşlem sonucu 50k² = 200 bulunur ve k=2 olur. Toplamları ise a+b+c = 3k+4k+5k = 12k = 12(2) = 24'tür.

En az ağaç için aralıkların en büyük olması gerekir. Bu aralık EBOB(24, 30) = 6 metredir. Gerekli ağaç sayısı, (Bahçenin Çevresi / EBOB) formülüyle bulunur. Çevre = 2·(24+30) = 108 m. Ağaç sayısı = 108 / 6 = 18'dir.

Toplam, sayı adedine bölünerek ortadaki değer bulunur: 150 / 6 = 25. Sayı adedi çift olduğundan bu değer, ortadaki iki sayının (3. ve 4. sayının) tam ortasıdır. Bu çift sayılar 24 ve 26'dır. Sayı dizisi: 20, 22, 24, 26, 28, 30 şeklindedir ve en küçüğü 20'dir.

3x+4 tek ise, 3x ifadesi (Tek - Çift) kuralından tek olmalıdır. 3 (tek) ile x'in çarpımı tek ise, x kesinlikle tek sayıdır. Seçenekler arasında Tek + Çift = Tek kuralına uyan x+2 ifadesi daima tek sayıdır.

Aralarında asal sayıların EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. Yani a · b = 120'dir. İkinci denklemde payda eşitlenirse (a·b + 40)/b = 20 olur. a·b yerine 120 yazılırsa: (120 + 40)/b = 20 ⇒ 160/b = 20 ⇒ b = 8 bulunur.

Bir sayının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, sayının içindeki 5 çarpanı sayısını bulmalıyız. İfadeyi en küçük faktöriyel olan 48! parantezine alalım: 48! · (1 + 49) = 48! · 50.

• 48! içindeki 5 çarpanı sayısı: 48/5 → 9, 9/5 → 1 => 9 + 1 = 10 tanedir.
• 50 sayısındaki 5 çarpanı sayısı: 50 = 2 · 5² olduğu için 2 tanedir.

Toplam 5 çarpanı sayısı 10 + 2 = 12'dir. Bu nedenle sayının sondan 12 basamağı sıfırdır.

Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için hem 3 hem de 5 ile tam bölünmesi gerekir.
Durum 1 (B=0): Sayı 3A70 olur. Rakamları toplamı 10+A, 3'ün katı olmalı. A={2, 5, 8} olabilir (3 değer).
Durum 2 (B=5): Sayı 3A75 olur. Rakamları toplamı 15+A, 3'ün katı olmalı. A={0, 6, 9} olabilir (Rakamları farklı kuralından 3 olamaz) (3 değer).
Toplamda A, 3+3 = 6 farklı değer alabilir.

Bir sayıyı x tabanında yazmak, o sayıyı x'in kuvvetlerinin katsayıları olarak ifade etmektir. Verilen ifade: 2·x³ + 0·x² + 4·x¹ + 3·x⁰. Katsayıları sırasıyla yazdığımızda sayının x tabanındaki karşılığı (2043)ₓ olur. x>5 şartı, katsayıların (0,2,3,4) tabandan küçük olmasını garanti eder.

Üç basamaklı en küçük pozitif çift tam sayı 100'dür. İki basamaklı en büyük negatif tek tam sayı ise -11'dir. Toplamları: 100 + (-11) = 89.

10! + 11! = 10! · (1 + 11) = 12 · 10! = (2² · 3) · 10! olarak yazılır. 10! içindeki 3 çarpanlarının sayısı ⌊10/3⌋ + ⌊10/9⌋ = 3 + 1 = 4'tür. 12'den de bir tane 3 çarpanı gelir. Toplamda 4 + 1 = 5 tane 3 çarpanı vardır. Dolayısıyla x'in en büyük değeri 5'tir.

Zillerin tekrar birlikte çalması için geçen süre, aralıkların EKOK'u kadardır. EKOK(12, 15, 20) = 60 dakika (1 saat). İlk çalmadan sonra 4 kez daha birlikte çalmaları gerekir (toplamda 5. kez). Bu süre 4 × 60 dakika = 240 dakika = 4 saattir. 10:00'dan 4 saat sonrası 14:00'tür.

Bir sayının 36 ile bölünebilmesi için hem 4'e hem de 9'a tam bölünmesi gerekir.

• 4 ile bölünebilme: Son iki basamak (4B), 4'ün katı olmalıdır. B, 2 veya 6 olabilir.
• 9 ile bölünebilme: Rakamları toplamı (5+A+4+B), 9'un katı olmalıdır.
• Durum 1 (B=2): 11+A = 9k ise A=7 olmalıdır.
• Durum 2 (B=6): 15+A = 9k ise A=3 olmalıdır.

A'nın alabileceği değerler {3, 7} olup toplamları 10'dur.

İfade a·(a+3) şeklinde yazılabilir.

• Eğer a tek ise, (a+3) çift olur. Tek × Çift = Çift.
• Eğer a çift ise, (a+3) tek olur. Çift × Tek = Çift.

Her iki durumda da sonuç daima çifttir.

4c ifadesi daima bir çift sayıdır. Eşitliğin sağ tarafı çift olduğundan sol tarafı da çift olmalıdır. a · b + 5 ifadesinin çift olması için, a · b çarpımının tek olması gerekir (Tek + Tek = Çift). İki tam sayının çarpımı tek ise, her ikisi de tek olmak zorundadır.

En az fidan için aralığın en büyük olması gerekir. Aralık, 42 ve 56'nın ortak böleni olmalıdır. EBOB(42, 56) = 14. Ortak bölenler: {1, 2, 7, 14}. Şarta göre aralık > 5 olmalı, bu yüzden aralık 7 veya 14 olabilir. En büyük aralığı (14m) seçeriz. Fidan sayısı = Çevre / Aralık = (2*(42+56))/14 = 14.

14 = 2 · 7 olduğundan, 35! içindeki 14 çarpanlarının sayısını bulmak için 35! içindeki 2 ve 7 çarpanlarının sayısını bulmalıyız. Az olan çarpan sayısı (7 çarpanı) x'in en büyük değerini belirler. 35'i sürekli 7'ye bölerek 7 çarpanı sayısını buluruz: 35/7 = 5. Dolayısıyla x en fazla 5 olabilir.

Ardışık sayılar olduklarından a = c + 2'dir. Denklemde yerine koyarsak: (c+2)·c = 143. Bu, aralarında 2 fark olan iki sayının çarpımının 143 olduğunu gösterir. Bu sayılar 11 ve 13'tür. c < a olduğundan, c=11 ve a=13'tür. Ortadaki sayı b ise 12 olur. Toplamları: 11+12+13 = 36.

Sayı önce asal çarpanlarına ayrılır: A = (2·3)⁴·(2·5)³ = 2⁷·3⁴·5³. Pozitif çift bölen sayısını bulmak için, toplam pozitif bölen sayısından, tek pozitif bölen sayısını çıkarabiliriz.
Toplam Bölen Sayısı = (7+1)(4+1)(3+1) = 160.
Tek Bölen Sayısı (sadece 3 ve 5 çarpanları ile) = (4+1)(3+1) = 20.
Çift Bölen Sayısı = 160 - 20 = 140.

5! ve daha büyük faktöriyellerin birler basamağı daima 0'dır. Bu nedenle, sadece 0! + 2! + 4! toplamının birler basamağına bakmak yeterlidir. 1 + 2 + 24 = 27. Toplamın birler basamağı 7 olur.

Bir sayının 45'e tam bölünebilmesi için hem 5'e hem de 9'a tam bölünmesi gerekir.

• B=0 ise 4+A+8+0 = 12+A, 9'un katı olmalı. A=6 olur.
• B=5 ise 4+A+8+5 = 17+A, 9'un katı olmalı. A=1 olur.

Rakamlar farklı şartı her iki durumda da sağlanır. A'nın alabileceği değerler 6 ve 1'dir. Toplamları 6+1=7'dir.

3x = 5y eşitliğinden x = 5k ve y = 3k alınabilir. OBEB(5k, 3k) = k olduğu için k = 6 bulunur. Buradan x = 30 ve y = 18 olur. OBEB(x,y) · OKEK(x,y) = x · y formülünden 6 · OKEK(x,y) = 30 · 18 işlemiyle OKEK(x,y) = 90 bulunur.

Sayılar n ve n+2 olsun. (n+2)² - n² = 120. İki kare farkı özdeşliği kullanılırsa (n+2-n)(n+2+n) = 120 olur. Buradan 2(2n+2) = 120 ve 4n+4 = 120 bulunur. 4n=116 ve n=29 çıkar. Sayılar 29 ve 31'dir. Toplamları 29 + 31 = 60'tır.

1. b² daima pozitif olduğundan, a · b² < 0 olması için a negatif olmalıdır.
2. a negatif ise, a · c > 0 olması için c de negatif olmalıdır.
3. c negatif ise c³ de negatiftir. b · c³ < 0 olması için b pozitif olmalıdır.

Sıralama: (-, +, -) olur.