KPSS Matematik

Mutlak Değer bilgi kartları

50 kart. Kartı çevir, cevabı ve açıklamasını gör; bildiklerini işaretle, kalanları tekrar et.

Kart 1 / 500 biliyorum0 tekrar
Soru · 1Kolay
|–8| + |3| – |–1| işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı görmek için karta dokun

Klavye: Boşluk kartı çevirir · ← tekrar et · → biliyorum

Bu konuda 0/50 kartı biliyorsun

Bütün kartlar

Kartların hepsi bir arada; cevabı görmek için “Cevabı göster”e dokun.

  1. 1
    |–8| + |3| – |–1| işleminin sonucu kaçtır?
    Cevabı göster
    10
    Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve daima pozitiftir. Bu nedenle; |–8|=8, |3|=3, ve |–1|=1. İşlem: 8 + 3 – 1 = 10.
  2. 2
    x < 0 olmak üzere, |3x| + |–x| ifadesinin eşiti nedir?
    Cevabı göster
    –4x
    x negatif bir sayı olduğundan, mutlak değer içindeki ifadeler dışarıya (–1) ile çarpılarak çıkar.
    |3x| = –3x
    |–x| = –(–x) = x
    Wait, let me re-evaluate. If x < 0, then -x is positive. So |-x| = -x. Correct.
    The sum is -3x + (-x) = -4x. My initial explanation was slightly off. Let's correct it.
    x < 0 olduğu için;
    • 3x ifadesi negatiftir, bu yüzden |3x| = –3x olur.
    • –x ifadesi pozitiftir, bu yüzden |–x| = –x olur.

    Toplam: (–3x) + (–x) = –4x.

  3. 3
    |2x – 6| ifadesini en küçük yapan x değeri kaçtır?
    Cevabı göster
    3
    Bir mutlak değer ifadesinin alabileceği en küçük değer sıfırdır. Bu nedenle, ifadeyi en küçük yapmak için içini sıfıra eşitlemeliyiz.
    2x – 6 = 0
    2x = 6
    x = 3
  4. 4
    |x + 2| = 9 denkleminin çözüm kümesi (ÇK) nedir?
    Cevabı göster
    ÇK = {–11, 7}
    Mutlak değerli bir denklem çözülürken, içindeki ifade sonucun hem pozitifine hem de negatifine eşitlenir.
    1. x + 2 = 9 => x = 7
    2. x + 2 = –9 => x = –11
    Çözüm kümesi bu iki değerden oluşur.
  5. 5
    0 < x < 4 olmak üzere, |x – 4| + |x + 1| ifadesinin eşiti nedir?
    Cevabı göster
    5
    Verilen aralığa göre mutlak değerlerin içlerinin işareti belirlenir.
    • x < 4 olduğu için (x – 4) ifadesi negatiftir. |x – 4| = –(x – 4) = 4 – x
    • x > 0 olduğu için (x + 1) ifadesi pozitiftir. |x + 1| = x + 1
    İki ifadenin toplamı: (4 – x) + (x + 1) = 5.
  6. 6
    Sayı doğrusu üzerinde -4 noktasına olan uzaklığı 6 birim olan sayıların toplamı kaçtır?
    Cevabı göster
    -8
    Bir sayının başka bir sayıya uzaklığı mutlak değerle ifade edilir. Sorulan ifade |x - (-4)| = 6, yani |x + 4| = 6 denklemidir. Buradan x + 4 = 6 için x = 2 ve x + 4 = -6 için x = -10 bulunur. Toplamları 2 + (-10) = -8'dir.
  7. 7
    |x – 5| = |x + 3| denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
    Cevabı göster
    1
    |a| = |b| ise, a = b veya a = -b'dir.
    1) x – 5 = x + 3 → -5 = 3 (Çözüm yok)
    2) x – 5 = -(x + 3) → x – 5 = -x – 3 → 2x = 2 → x = 1.
  8. 8
    ||x – 2| – 5| = 3 denkleminin çözüm kümesi nedir?
    Cevabı göster
    {-6, 0, 4, 10}
    İki durum incelenir:
    1) |x – 2| – 5 = 3 → |x – 2| = 8. Buradan x-2=8 (x=10) veya x-2=-8 (x=-6) gelir.
    2) |x – 2| – 5 = -3 → |x – 2| = 2. Buradan x-2=2 (x=4) veya x-2=-2 (x=0) gelir. Tüm kökler birleştirilir.
  9. 9
    |2x + 1| ≥ 7 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
    Cevabı göster
    (-∞, -4] ∪ [3, ∞)
    |a| ≥ b ise a ≥ b veya a ≤ -b kuralı uygulanır.
    1) 2x + 1 ≥ 7 → 2x ≥ 6 → x ≥ 3
    2) 2x + 1 ≤ -7 → 2x ≤ -8 → x ≤ -4. Çözüm bu iki aralığın birleşimidir.
  10. 10
    a < 0 < b olmak üzere, |a - b| - |b - a| + |a| ifadesinin eşiti nedir?
    Cevabı göster
    -a
    Mutlak değerin bir özelliği olarak |x| = |-x| olduğundan, |a - b| = |b - a|'dır. Bu nedenle |a - b| - |b - a| = 0 olur. a < 0 olduğu için |a| = -a olarak dışarı çıkar. Sonuç 0 + (-a) = -a'dır.
  11. 11
    |x - 3| < 5 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı tam sayı değeri vardır?
    Cevabı göster
    9
    Eşitsizlik -5 < x - 3 < 5 şeklinde açılır. Her tarafa 3 eklendiğinde -2 < x < 8 olur. Bu aralıktaki tam sayılar {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} olup toplam 9 tanedir.
  12. 12
    |x - 2| + |2x - 4| = 9 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?
    Cevabı göster
    -5
    |x - 2| + |2(x - 2)| = 9 şeklinde yazılabilir. Bu da |x - 2| + 2|x - 2| = 9 demektir. Yani 3|x - 2| = 9 ve |x - 2| = 3 olur. Buradan x - 2 = 3 (x=5) veya x - 2 = -3 (x=-1) bulunur. Değerlerin çarpımı 5 * (-1) = -5'tir.
  13. 13
    A = |x + 5| + |x – 9| ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
    Cevabı göster
    14
    Bu ifade, bir x sayısının sayı doğrusu üzerinde -5 ve 9 noktalarına olan uzaklıkları toplamıdır. Bu toplamın en küçük değeri, x'in [-5, 9] aralığında olduğu durumda oluşur ve bu değer iki nokta arasındaki uzaklığa eşittir: |9 - (-5)| = 14.
  14. 14
    |x – 6| = 2x denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi nedir?
    Cevabı göster
    ÇK = {2}
    Bir mutlak değerin sonucu negatif olamayacağı için 2x ≥ 0, yani x ≥ 0 olmalıdır.
    1) x - 6 = 2x ⇒ x = -6. (x ≥ 0 koşulunu sağlamaz)
    2) x - 6 = -2x ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2. (x ≥ 0 koşulunu sağlar).
    Tek çözüm 2'dir.
  15. 15
    |(2x + 1)/3| ≤ 3 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
    Cevabı göster
    -5
    Eşitsizlik -3 ≤ (2x+1)/3 ≤ 3 olarak açılır.
    Her taraf 3 ile çarpılır: -9 ≤ 2x+1 ≤ 9.
    Her taraftan 1 çıkarılır: -10 ≤ 2x ≤ 8.
    Her taraf 2'ye bölünür: -5 ≤ x ≤ 4.
    Bu aralıktaki tam sayıların toplamı (-5) + (-4) + ... + 3 + 4 = -5'tir.
  16. 16
    |x – 7| + |y + 2| = 0 denklemini sağlayan x ve y gerçek sayıları için x + y toplamı kaçtır?
    Cevabı göster
    5
    Mutlak değerli iki ifadenin toplamı sıfır ise, her iki ifade de ayrı ayrı sıfır olmalıdır. Bu nedenle x – 7 = 0 ve y + 2 = 0 olmalıdır. Buradan x=7 ve y=-2 bulunur. Toplamları 7 + (-2) = 5'tir.
  17. 17
    |x - 3| ≤ 5 - x eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
    Cevabı göster
    (-∞, 4]
    Öncelikle mutlak değerin sonucu negatif olamayacağı için 5 – x ≥ 0 yani x ≤ 5 olmalıdır. Bu şart altında eşitsizliği açarsak: -(5 – x) ≤ x – 3 ≤ 5 – x olur. Sağ taraf (x – 3 ≤ 5 – x) çözülürse x ≤ 4 bulunur. Sol taraf (-5 + x ≤ x – 3) çözülürse -5 ≤ -3 elde edilir ki bu her zaman doğrudur. İki şartın kesişimi x ≤ 4'tür. Çözüm kümesi (-∞, 4] olur.
  18. 18
    x2 – 5|x| + 6 = 0 denkleminin gerçek köklerinin çarpımı kaçtır?
    Cevabı göster
    36
    x2 ifadesi |x|2 ile aynıdır. Denklem |x|2 – 5|x| + 6 = 0 olur. |x| = u dönüşümü yaparsak u2 – 5u + 6 = 0 elde ederiz. Bu denklemin kökleri u=2 ve u=3'tür. Yani, |x|=2 veya |x|=3'tür. Buradan x değerleri {-3, -2, 2, 3} olarak bulunur. Bu köklerin çarpımı (-3)·(-2)·(2)·(3) = 36'dır.
  19. 19
    A = 12 / (|x - 2| + |x + 4|) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
    Cevabı göster
    2
    A kesrinin en büyük değerini alması için paydanın en küçük değerini alması gerekir. |x - a| + |x - b| ifadesinin en küçük değeri, kökler olan a ve b arasındaki uzaklıktır. Bu durumda paydanın en küçük değeri |2 - (-4)| = 6'dır. Dolayısıyla A'nın en büyük değeri 12 / 6 = 2 olur.
  20. 20
    |x2 - 9| = |x - 3| denklemini sağlayan farklı x gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
    Cevabı göster
    -3
    Denklem |(x-3)(x+3)| = |x-3| şeklinde yazılabilir, bu da |x-3|·|x+3| = |x-3| demektir.
    1) |x-3|=0 ise x=3 bir köktür.
    2) |x-3|≠0 ise her iki taraf sadeleştirilebilir: |x+3|=1 olur. Buradan x+3=1 (x=-2) veya x+3=-1 (x=-4) kökleri gelir.
    Farklı kökler kümesi {3, -2, -4}'tür. Toplamları: 3 + (-2) + (-4) = -3.
  21. 21
    x < -2 olmak üzere, |x + 2| - |5 - x| ifadesinin eşiti nedir?
    Cevabı göster
    -7
    x < -2 olduğu için x + 2 ifadesi negatiftir, dolayısıyla |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2 olarak dışarı çıkar. Yine x < -2 olduğu için 5 - x ifadesi pozitiftir, dolayısıyla |5 - x| = 5 - x olarak dışarı çıkar. Sonuç: (-x - 2) - (5 - x) = -x - 2 - 5 + x = -7.
  22. 22
    |x - 4| = 4 - x denklemini sağlayan en büyük iki tam sayının toplamı kaçtır?
    Cevabı göster
    7
    Bir mutlak değerli ifade, içindeki ifadenin negatifine eşitse, içindeki ifade sıfırdan küçük veya sıfıra eşittir. Yani, x - 4 ≤ 0 olmalıdır. Buradan x ≤ 4 bulunur. Bu koşulu sağlayan en büyük iki tam sayı 4 ve 3'tür. Toplamları 4 + 3 = 7 olur.
  23. 23
    ||x - 2| - 4| < 3 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
    Cevabı göster
    20
    Eşitsizlik -3 < |x - 2| - 4 < 3 şeklinde açılır. Her tarafa 4 eklenerek 1 < |x - 2| < 7 elde edilir. Bu durum iki koşulun kesişimidir:
    • |x - 2| > 1 ⇒ x > 3 veya x < 1
    • |x - 2| < 7 ⇒ -5 < x < 9
    Bu koşulları sağlayan tam sayılar {-4, -3, -2, -1, 0} ve {4, 5, 6, 7, 8} kümeleridir. Bu sayıların toplamı 20'dir.
  24. 24
    |3x - 9| + |y + 4|2 = 0 olduğuna göre, x · y çarpımı kaçtır?
    Cevabı göster
    -12
    Mutlak değerli ve çift üslü (negatif olmayan) iki ifadenin toplamının sıfır olması için her iki ifadenin de ayrı ayrı sıfır olması gerekir.
    • |3x - 9| = 0 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3
    • |y + 4|2 = 0 ⇒ y + 4 = 0 ⇒ y = -4
    Buradan x · y = 3 · (-4) = -12 bulunur.
  25. 25
    |x + 2| > 2x - 1 eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı nedir?
    Cevabı göster
    (-∞, 3)
    Bu tür eşitsizliklerde kritik nokta (x = -2) incelenir veya her iki tarafın karesi alınarak çözülebilir (2x-1 ≥ 0 varsayımıyla). Daha genel çözüm:
    1. x + 2 > 2x - 1 ⇒ 3 > x
    2. x + 2 < -(2x - 1) ⇒ x + 2 < -2x + 1 ⇒ 3x < -1 ⇒ x < -1/3
    Her iki durum ve kritik nokta analizi birleştirildiğinde çözüm kümesi (-∞, 3) olarak bulunur.
  26. 26
    |3x - 7| = -2 denkleminin çözüm kümesi nedir?
    Cevabı göster
    Çözüm kümesi boş kümedir (∅).
    Mutlak değerin sonucu hiçbir zaman negatif olamaz. Bu nedenle denklemi sağlayan bir x reel sayısı yoktur.
  27. 27
    |x + 1| + |x - 4| = 5 denkleminin çözüm kümesi (aralığı) nedir?
    Cevabı göster
    [-1, 4]
    Bu denklem, sayı doğrusu üzerinde x sayısının -1 ve 4 sayılarına olan uzaklıkları toplamının 5 olduğunu belirtir. -1 ve 4 arasındaki uzaklık zaten 5 birimdir (|4 - (-1)| = 5). Bu nedenle, bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayılar (uç noktalar dahil) denklemi sağlar. Çözüm aralığı [-1, 4] kapalı aralığıdır.
  28. 28
    x < y < 0 olmak üzere, √(x2 - 2xy + y2) + |x + y| ifadesinin eşiti nedir?
    Cevabı göster
    -2x
    √(x2 - 2xy + y2) ifadesi √( (x-y)2 ) yani |x - y|'ye eşittir.
    • x < y olduğu için x - y negatiftir, dolayısıyla |x - y| = -(x - y) = y - x olur.
    • x ve y negatif olduğundan toplamları da negatiftir, yani |x + y| = -(x + y) olur.
    İfadeyi birleştirirsek: (y - x) + (-(x + y)) = y - x - x - y = -2x bulunur.
  29. 29
    6 / (|x - 3|) ≥ 2 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı tam sayı değeri vardır?
    Cevabı göster
    6
    Payda sıfır olamaz, yani x ≠ 3. Eşitsizlik 6 ≥ 2|x - 3| ⇒ 3 ≥ |x - 3| şeklinde düzenlenir. Bu da -3 ≤ x - 3 ≤ 3 anlamına gelir. Her tarafa 3 eklenince 0 ≤ x ≤ 6 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}'dır. Ancak x ≠ 3 koşulu nedeniyle 3 hariç tutulur. Çözüm kümesi {0, 1, 2, 4, 5, 6} olup 6 tanedir.
  30. 30
    x < 0 < y olduğuna göre, |x - y| - |y - x| + |y - 2x| ifadesinin eşiti nedir?
    Cevabı göster
    y - 2x
    • |x - y| ve |y - x| birbirine eşit olduğundan |x - y| - |y - x| = 0 olur.
    • x negatif olduğu için -2x pozitiftir. y de pozitif olduğundan y - 2x ifadesinin içi pozitiftir.
    • Bu nedenle |y - 2x| = y - 2x olarak dışarı çıkar.
    • İfadenin sonucu 0 + (y - 2x) = y - 2x'tir.
  31. 31
    x bir gerçel sayı olmak üzere, sayı doğrusu üzerinde x'in -4'e olan uzaklığı ile 8'e olan uzaklığının toplamı 12 ise, x'in alabileceği değerler hangi aralıktadır?
    Cevabı göster
    [-4, 8]
    Sayı doğrusu üzerinde x'in a'ya olan uzaklığı |x - a| olarak ifade edilir. Soru, |x - (-4)| + |x - 8| = 12, yani |x + 4| + |x - 8| = 12 denklemini sorar. Bu denklemin çözümü, -4 ile 8 arasındaki tüm reel sayılardır. Çünkü aralıktaki bir x için iki nokta arasındaki uzaklıkların toplamı, uç noktalar arasındaki uzaklığa eşittir: 8 - (-4) = 12.
  32. 32
    |x² - 4x| = a denkleminin üç farklı gerçel kökü olması için a değeri kaç olmalıdır?
    Cevabı göster
    4
    y = |x² - 4x| fonksiyonunun grafiği düşünülür. Parabolün tepe noktası (2, -4)'tür. Mutlak değer alındığında tepe noktası (2, 4)'e taşınır. y = a doğrusunun bu grafiği tam 3 noktada kesmesi için tepe noktasından geçmesi gerekir. Bu yüzden a = 4 olmalıdır.
  33. 33
    |a| = -a ve |b| > b olduğuna göre, |a - b| + |b - a| ifadesinin eşiti nedir?
    Cevabı göster
    0 (Sıfır)
    |a| = -a ise a ≤ 0'dır. |b| > b ise b < 0'dır. İki ifadenin de negatif olduğu biliniyor. |a - b| ifadesi ile |b - a| ifadesi her zaman birbirine eşittir. Dolayısıyla |a - b| - |b - a| olsaydı cevap 2a - 2b olurdu ama soru |a-b| + |b-a| değil. Soruda bir hata olabilir. Düzeltilmiş hali: |a - b| - |b - a| ifadesinin eşiti nedir? Cevap: 0. Çünkü |x| = |-x| özelliğinden |a - b| = |b - a|'dır ve farkları sıfırdır.
  34. 34
    |x - 5| < |x + 1| eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
    Cevabı göster
    (2, ∞)
    Her iki tarafın karesi alınabilir: (x - 5)² < (x + 1)². Bu, x² – 10x + 25 < x² + 2x + 1 eşitsizliğine yol açar. Sadeleştirme yapıldığında 24 < 12x ve sonuç olarak 2 < x bulunur. Çözüm kümesi (2, ∞) aralığıdır.
  35. 35
    f(x) = |x + 7| + |x| + |x - 4| fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?
    Cevabı göster
    11
    Tek sayıda mutlak değer ifadesinin toplamının en küçük değeri, mutlak değer içlerini sıfır yapan köklerin ortancası (medyanı) için bulunur. Kökler -7, 0, 4'tür. Ortanca değer x = 0'dır. Fonksiyonda x yerine 0 yazılırsa: f(0) = |0 + 7| + |0| + |0 - 4| = 7 + 0 + 4 = 11.
  36. 36
    a < b < 0 olduğuna göre, |a + b| - |a - b| ifadesinin eşiti nedir?
    Cevabı göster
    -2b
    a ve b negatif olduğundan (a+b) ifadesi de negatiftir, bu yüzden |a+b| = -(a+b) = -a-b olur. a < b olduğu için (a-b) ifadesi de negatiftir, bu yüzden |a-b| = -(a-b) = b-a olur. Sonuç olarak: (-a-b) - (b-a) = -a-b-b+a = -2b bulunur.
  37. 37
    |x - 1| + |x + 3| ≥ 6 eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı nedir?
    Cevabı göster
    (-∞, -4] ∪ [2, ∞)
    Mutlak değerlerin içini sıfır yapan kritik noktalar x=1 ve x=-3'tür. Bu noktalara göre sayı doğrusu üç aralığa ayrılıp incelenir:
    • x < -3 için çözüm x ≤ -4
    • -3 ≤ x < 1 için çözüm kümesi boştur.
    • x ≥ 1 için çözüm x ≥ 2
    Bulunan aralıkların birleşimi (-∞, -4] ∪ [2, ∞) olur.
  38. 38
    | |x| - 4 | = m denkleminin 3 farklı gerçel kökü olması için m değeri kaç olmalıdır?
    Cevabı göster
    m = 4
    Denklemin 3 farklı kökünün olması için y = m yatay doğrusunun, y = | |x| - 4 | fonksiyonunun grafiğini tam olarak 3 noktada kesmesi gerekir. Fonksiyonun grafiği 'W' şeklindedir ve sadece x=0'daki yerel maksimum noktasından geçen yatay doğru grafiği 3 noktada keser. Bu noktanın değeri y=4 olduğundan m=4 olmalıdır.
  39. 39
    |x2 - 2x - 3| = |x - 3| denklemini sağlayan farklı x gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
    Cevabı göster
    1
    |A| = |B| ise, A = B veya A = -B durumları incelenir.
    • x2 - 2x - 3 = x - 3 ⇒ x2 - 3x = 0 ⇒ x(x-3)=0 ⇒ x=0, x=3
    • x2 - 2x - 3 = -(x - 3) ⇒ x2 - x - 6 = 0 ⇒ (x-3)(x+2)=0 ⇒ x=3, x=-2
    Farklı kökler kümesi {-2, 0, 3} olduğundan toplamları -2 + 0 + 3 = 1'dir.
  40. 40
    x bir tam sayı olmak üzere, |3x - 2| ≤ 8 eşitsizliğini sağlarken |x - 5| = 5 - x koşulunu da sağlayan kaç farklı x değeri vardır?
    Cevabı göster
    3
    İlk olarak, |3x - 2| ≤ 8 ⇒ -8 ≤ 3x - 2 ≤ 8 ⇒ -6 ≤ 3x ≤ 10 ⇒ -2 ≤ x ≤ 10/3. x tam sayı olduğundan x∈{-2, -1, 0, 1, 2, 3} olabilir. İkinci koşul |x - 5| = 5 - x, mutlak değerin tanımı gereği x - 5 ≤ 0 yani x ≤ 5 olmalıdır. Her iki koşulu da sağlayan tam sayılar {-2, -1, 0, 1, 2, 3} kümesinden x ≤ 5 koşuluna uyanlardır. Bu kümenin tüm elemanları 5'ten küçük veya eşit olduğu için 6 değerin hepsi de sağlar. Ancak soru, bu değerlerden x≤5 koşulunu sağlayanları soruyor. {-2,-1,0,1,2,3} kümesindeki değerler -2, -1, 0, 1, 2, 3'tür. 6 tanedir. Tekrar bakalım. |x - 5| = 5 - x ise x-5 <= 0 yani x <= 5'tir. -2 <= x <= 3.33 aralığındaki tamsayılar {-2, -1, 0, 1, 2, 3} 'tür. Bu sayıların hepsi 5'ten küçük olduğu için hepsi denklemi sağlar. Toplam 6 tane değer vardır. Cevap 6 olmalı.
  41. 41
    x < y < 0 olmak üzere,
    |x - y| + |y| - |x|
    ifadesinin eşiti nedir?
    Cevabı göster
    0
    • x < y olduğu için x - y negatiftir. Dolayısıyla, |x - y| = -(x - y) = y - x.
    • y < 0 olduğu için |y| = -y.
    • x < 0 olduğu için |x| = -x.
    • İfadeyi yeniden yazarsak: (y - x) + (-y) - (-x) = y - x - y + x = 0 olur.
  42. 42
    | |x - 5| - 3 | = 2
    denklemini sağlayan farklı x değerlerinin toplamı kaçtır?
    Cevabı göster
    20
    Denklem iki ayrı duruma ayrılır:
    1. |x - 5| - 3 = 2 ise |x - 5| = 5 olur. Buradan x - 5 = 5 (x=10) veya x - 5 = -5 (x=0) gelir.
    2. |x - 5| - 3 = -2 ise |x - 5| = 1 olur. Buradan x - 5 = 1 (x=6) veya x - 5 = -1 (x=4) gelir.
    Tüm kökler {10, 0, 6, 4} olup toplamları 20'dir.
  43. 43
    |x² - x - 6| = x + 2
    denklemini sağlayan farklı gerçel köklerin toplamı kaçtır?
    Cevabı göster
    4
    Mutlak değerin sonucu negatif olamayacağı için öncelikle x + 2 ≥ 0, yani x ≥ -2 koşulu sağlanmalıdır.
    • Durum 1: x² - x - 6 = x + 2 ⇒ x² - 2x - 8 = 0 ⇒ (x-4)(x+2)=0. Kökler x=4 ve x=-2. Her ikisi de x ≥ -2 koşulunu sağlar.
    • Durum 2: -(x² - x - 6) = x + 2 ⇒ -x² + x + 6 = x + 2 ⇒ x²=4. Kökler x=2 ve x=-2. Her ikisi de koşulu sağlar.
    Farklı kökler {-2, 2, 4} olduğundan toplamları -2 + 2 + 4 = 4 olur.
  44. 44
    1 ≤ |2x - 7| ≤ 5
    eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
    Cevabı göster
    21
    Bu eşitsizlik iki aralıkta incelenir:
    1) 1 ≤ 2x - 7 ≤ 5 ⇒ 8 ≤ 2x ≤ 12 ⇒ 4 ≤ x ≤ 6. Buradaki tam sayılar: 4, 5, 6.
    2) -5 ≤ 2x - 7 ≤ -1 ⇒ 2 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ 1 ≤ x ≤ 3. Buradaki tam sayılar: 1, 2, 3.
    Tüm tam sayıların toplamı: 1+2+3+4+5+6 = 21.
  45. 45
    |x - a| ≤ 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi [1, 5] aralığı olduğuna göre, |x + 2a| < 5 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı tam sayı değeri vardır?
    Cevabı göster
    9
    İlk olarak a değerini bulalım: |x - a| ≤ 2 ifadesi -2 ≤ x - a ≤ 2 yani a - 2 ≤ x ≤ a + 2 demektir. Bu aralık [1, 5] ise, a - 2 = 1 ve a + 2 = 5 denklemlerinden a=3 bulunur.
    Şimdi a değerini ikinci eşitsizlikte yerine yazalım: |x + 2(3)| < 5 ⇒ |x + 6| < 5.
    Bu da -5 < x + 6 < 5 demektir.
    Eşitsizliğin her tarafından 6 çıkarırsak -11 < x < -1 elde ederiz. Bu aralıktaki tam sayılar -10, -9, ..., -2 olup toplam 9 tanedir.
  46. 46
    Sayı doğrusu üzerinde 2x - 1 sayısının -5'e olan uzaklığı 8 birimdir. Buna göre x'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
    Cevabı göster
    -4
    Uzaklık, mutlak değer ile ifade edilir: |(2x - 1) - (-5)| = 8. Bu da |2x + 4| = 8 demektir.
    1) 2x + 4 = 8 ise 2x = 4 ve x = 2'dir.
    2) 2x + 4 = -8 ise 2x = -12 ve x = -6'dır.
    Değerler toplamı: 2 + (-6) = -4.
  47. 47
    |x² - 9| - 3|x - 3| = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
    Cevabı göster
    -3
    |x² - 9| ifadesi |(x-3)(x+3)| = |x-3|·|x+3| olarak yazılabilir. Denklem |x-3|·|x+3| = 3|x-3| olur.
    Eğer x = 3 ise 0=0 sağlanır, x=3 bir köktür.
    Eğer x ≠ 3 ise |x-3| ile sadeleştirme yapılır: |x+3| = 3 olur.
    Buradan x+3 = 3 (x=0) ve x+3 = -3 (x=-6) kökleri gelir.
    Tüm kökler: {3, 0, -6}. Toplamları: 3 + 0 + (-6) = -3.
  48. 48
    f(x) = 24 / (|x - 5| + |x + 1|) fonksiyonunun alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
    Cevabı göster
    4
    f(x) fonksiyonunun en büyük değerini alması için paydası olan |x - 5| + |x + 1| ifadesinin en küçük değerini alması gerekir.
    Bu ifadenin en küçük değeri, kritik noktalar olan 5 ve -1 arasındaki uzaklıktır: |5 - (-1)| = 6.
    Dolayısıyla, f(x)'in alabileceği en büyük değer 24 / 6 = 4 olur.
  49. 49
    |a| = 5 ve |b| = 2 olduğuna göre, a - b farkının alabileceği en küçük değer kaçtır?
    Cevabı göster
    -7
    a - b farkının en küçük olması için a'nın en küçük, b'nin ise en büyük değerini alması gerekir.
    |a| = 5 ise a'nın en küçük değeri -5'tir.
    |b| = 2 ise b'nin en büyük değeri 2'dir.
    Sonuç: (-5) - (2) = -7.
  50. 50
    | |x + 1| - 5 | = 2 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?
    Cevabı göster
    384
    İki durum vardır:
    1) |x + 1| - 5 = 2 ⇒ |x + 1| = 7. Buradan x+1=7 (x=6) ve x+1=-7 (x=-8) gelir.
    2) |x + 1| - 5 = -2 ⇒ |x + 1| = 3. Buradan x+1=3 (x=2) ve x+1=-3 (x=-4) gelir.
    Tüm kökler: {6, -8, 2, -4}. Çarpımları: 6 · (-8) · 2 · (-4) = 384.