İşlem bilgi kartları

İşlem önceliği sırası: Parantez içi, Üslü ifadeler, Çarpma/Bölme (soldan sağa), Toplama/Çıkarma (soldan sağa).

Çarpma ve bölme aynı önceliktedir, bu yüzden işlem soldan sağa yapılır. Önce bölme: 24 ÷ 4 = 6. Sonra çarpma: 6 × 2 = 12. Son olarak toplama ve çıkarma: 12 + 5 = 17, 17 − 3 = 14.

En iç parantezden başlanır. Üslü ifade: 3² = 9. Parantez içi: (9 + 1) = 10. Köşeli parantez: [18 – 10] = 8. Çarpma işlemi: 8 × (-3) = -24. Toplama işlemi: 5 + (-24) = -19.

Herhangi bir sayının sıfır ile çarpımı her zaman sıfırdır. Bu nedenle 0, çarpma işleminin yutan elemanıdır.

Dağılma özelliği, bir sayının bir toplam ile çarpımının, o sayının toplamın her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarının toplamına eşit olmasıdır. Formülü: a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Bir sayıyı sıfır ile toplamak sayının kendi değerini değiştirmez. Bu nedenle 0, toplama işleminin etkisiz (birim) elemanıdır.

İşlem önceliği sırası:
1. Parantez içi: [(-2) × (-4)] = 8
2. Bölme: (-15) ÷ 3 = -5
3. Toplama ve Çıkarma: -5 + 8 - 7 = 3 - 7 = -4

1. Önce parantez içleri: (-2)⁴ = 16 ve (5-9) = -4.
2. Köşeli parantezdeki bölme: [16 ÷ (-4)] = -4.
3. Çarpma: (-4) × 3 = -12.
4. Son olarak çıkarma: 24 – (-12) = 24 + 12 = 36.

Bu özellik, bir sayının bir toplamla çarpımının, o sayının toplamdaki her bir terimle ayrı ayrı çarpımlarının toplamına eşit olduğunu belirtir.

1. Parantez içindeki işlemler yapılır: (1/2) × (2/3) ÷ (5/4).
2. Soldan sağa doğru çarpma yapılır: (1/2) × (2/3) = 1/3.
3. Bölme işlemi yapılır (ikinci kesir ters çevrilip çarpılır): (1/3) × (4/5) = 4/15.

Bir sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının zıt işaretlisidir. Örneğin, 5'in tersi -5'tir ve 5 + (-5) = 0 eder. Bu nedenle toplamları her zaman toplama işleminin etkisiz elemanı olan sıfırı verir.

İşlem önceliğine göre sırasıyla:

1. En iç parantez: 4 ÷ 2 = 2, sonra 8 + 2 = 10.
2. Köşeli parantez: 15 - 10 = 5.
3. Çarpma: 5 × 2 = 10.
4. Çıkarma: 12 - 10 = 2.

c'nin en büyük değerini alması için katsayısı küçük olan a ve b'ye en küçük ve birbirinden farklı pozitif tam sayı değerleri verilmelidir. a=3 ve b=1 denendiğinde; 2(3) + 3(1) + 4c = 53 → 9 + 4c = 53 → 4c = 44 → c = 11 bulunur.

İşlem önceliği kurallarında çarpma ve bölme aynı önceliğe sahiptir. Bu nedenle, bir ifadede yan yana bulunduklarında işlem daima soldan sağa doğru yapılır. Örneğin, 12 ÷ 2 × 3 işlemi (12 ÷ 2) × 3 = 6 × 3 = 18 olarak çözülür.

Çarpımları 7 olan tam sayı çiftleri (1, 7), (7, 1), (-1, -7), ve (-7, -1)'dir. Bu durumlar için x değerleri bulunur:

• x - 3 = 1 → x = 4
• x - 3 = 7 → x = 10
• x - 3 = -1 → x = 2
• x - 3 = -7 → x = -4

x'in alabileceği değerler toplamı: 4 + 10 + 2 + (-4) = 12.

Bu özellik, bir toplama işleminde sayıların gruplandırılmasının sonucu değiştirmediğini belirtir. İşlem sırası parantezlerle değişse de sonuç aynı kalır.

x'in en büyük değerini bulmak için 2y + 3z toplamını en küçük yapmalıyız. y ve z'ye en küçük farklı pozitif tam sayıları (1 ve 2) vermeliyiz. Toplamı minimize etmek için katsayısı büyük olan 'z'ye en küçük değeri (z=1) ve 'y'ye bir sonraki en küçük değeri (y=2) veririz. Bu durumda x + 2(2) + 3(1) = 35 olur ve x = 28 bulunur.

İşaret kuralına göre, aynı işaretli iki sayının çarpımı her zaman pozitiftir. Örneğin: (-5) × (-4) = 20.

Bir sayının çarpma işlemine göre tersi, o sayı ile çarpıldığında çarpma işleminin etkisiz elemanı olan 1'i veren sayıdır. Yani a × (1/a) = 1.

Önce en içteki parantez açılır: a - [b - a + 2b + 3a]. Sonra köşeli parantez içi toparlanır: a - [3b + 2a]. Son olarak dış parantez açılır: a - 3b - 2a = -a - 3b.

Bu özellik, bir işlemdeki terimlerin veya çarpanların yerleri değiştirildiğinde sonucun değişmediğini gösterir.

İşlem önceliğine göre:
1. Parantez içleri: (-4)² = 16 ve (10-13)³ = (-3)³ = -27
2. Köşeli parantez: [16 - (-27)] = 16 + 27 = 43
3. Bölme: 43 ÷ (-43) = -1

Örneğin, 7 × (-1) = -7'dir. Sayı -7, 7'nin toplama işlemine göre tersidir. Genel olarak, a × (-1) = -a olur.

Önce parantez içi yapılır: 5 △ 3 = 5² - 3² = 25 - 9 = 16. Daha sonra bulunan sonuçla yeni işlem yapılır: 16 △ 4 = 16² - 4² = 256 - 16 = 240.

Verilen sıralamaya göre mutlak değerlerin dışına nasıl çıktığı belirlenir:

• a < 0 olduğundan |a| = -a
• b > a olduğundan (b-a) > 0, yani |b-a| = b-a
• c > b olduğundan (c-b) > 0, yani |c-b| = c-b

İfade şu hale gelir: (-a) + (b - a) - (c - b) = -a + b - a - c + b = 2b - 2a - c.

İşlem önceliğine göre önce üslü ifadeler ve parantez içi yapılır. (1/2)^-1 = 2/1 = 2. Ve (-2)³ = -8. Parantez içi: [2 + (-8)] = -6. Son olarak bölme yapılır: -6 ÷ 3 = -2.

Bir a sayısı (a≠0) ile çarpma işlemine göre tersi olan 1/a'nın çarpımı her zaman çarpma işleminin etkisiz elemanı olan 1'i verir. Yani, a × (1/a) = 1.

İşlem önceliği kurallarına göre (PEMDAS/BODMAS), önce çarpma ve bölme (soldan sağa), sonra toplama ve çıkarma (soldan sağa) yapılır.

1. 5 × 3 = 15
2. 10 ÷ 2 = 5
3. İfade şu hale gelir: 15 + 15 - 5
4. 30 - 5 = 25

Önce parantez içi olan (2 □ 3) işlemi yapılır. Kuralda a yerine 2, b yerine 3 yazılır:
2 □ 3 = 2² - (2)(3) + 1 = 4 - 6 + 1 = -1.
Şimdi işlem (-1) □ 1 haline gelir. Kuralda a yerine -1, b yerine 1 yazılır:
(-1) □ 1 = (-1)² - (-1)(1) + 1 = 1 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3.

Toplamın en küçük olması için, katsayısı en büyük olan değişkene (z) mümkün olan en büyük değer verilmelidir. Deneme yoluyla:

• z=16 için 5z=80, 3x+4y=2 (pozitif tam sayı çözümü yok).
• z=15 için 5z=75, 3x+4y=7 (x=1, y=1 olur, farklı değiller).
• z=14 için 5z=70, 3x+4y=12 (çözüm yok).
• z=13 için 5z=65, 3x+4y=17 (y=2 için 3x=9, x=3 olur).

Bu durumda x=3, y=2, z=13 değerleri şartları sağlar ve toplamları 3 + 2 + 13 = 18 olur.

Bu özellik, bir toplam ile bir sayının çarpımının, toplananların her birinin o sayıyla ayrı ayrı çarpımlarının toplamına eşit olduğunu belirtir. Çarpan olan c sayısı, parantezin sağında olduğu için bu özelliğe "sağdan dağılma" denir. Soldan olsaydı c × (a + b) şeklinde olurdu.

Önce mutlak değer içindeki işlemler yapılır:

• | -7 - (-3) | = | -7 + 3 | = | -4 |
• | 5 - 11 | = | -6 |

Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığı olduğu için daima pozitiftir: | -4 | = 4 ve | -6 | = 6. Son olarak bu değerler toplanır: 4 + 6 = 10.

Etkisiz eleman 'e' olmak üzere, bir işlemin etkisiz elemanı a ∆ e = a eşitliğini sağlamalıdır. Buna göre, a + e - 5 = a denklemi çözülürse, e - 5 = 0 ve buradan e = 5 bulunur.

x'in en büyük değerini alması için y ve z'ye en küçük pozitif tam sayı değerleri verilmelidir. 2x = 49 - (3y + 5z) ifadesinde, sonucun çift sayı olabilmesi için 3y + 5z tek sayı olmalıdır. Bu şartı sağlayan en küçük değer y=2 ve z=1 için 3(2) + 5(1) = 11'dir. Bu durumda 2x = 49 - 11 = 38 ve x = 19 bulunur.

Bir işlemde elemanların yer değiştirmesi sonucu değiştirmiyorsa, o işlemin değişme özelliği vardır. Toplama ve çarpma işlemleri bu özelliğe sahiptir.

İlk olarak parantez içi yapılır: 3 ∗ 2 = 2(3) - 2² = 6 - 4 = 2. Daha sonra bulunan sonuçla ikinci işlem yapılır: 2 ∗ 5 = 2(2) - 5² = 4 - 25 = -21.

Sıfırdan farklı bir a sayısının çarpma işlemine göre tersi 1/a'dır. Toplama işlemine göre tersi ise -a'dır. İkisinin çarpımı (1/a) × (-a) = -1 sonucunu verir.

Değişme özelliği için a △ b = b △ a olmalıdır. Verilen işlemde a △ b = 2a + 2b ve b △ a = 2b + 2a'dır. Toplama işleminin değişme özelliğinden dolayı 2a + 2b = 2b + 2a olduğu için bu işlem değişmelidir.

Bir işlemin birim elemanı 'e' için x ⦿ e = x eşitliği sağlanmalıdır. Buna göre, x + e + 7 = x denklemi kurulur. Denklemden x'ler sadeleşince e + 7 = 0 kalır. Buradan da birim eleman e = -7 olarak bulunur.

Bu özellik, bir sayının bir fark ile çarpımının, o sayının farkın terimleriyle ayrı ayrı çarpımlarının farkına eşit olduğunu belirtir.

İlk olarak parantez içindeki işlem yapılır: 3 ☆ 4 = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Daha sonra bu sonuçla ikinci işlem yapılır: 25 O 2 = 2 × 25 × 2 = 100.

z'nin en büyük değerini alması için katsayısı büyük olan x ve y'ye en küçük farklı pozitif tam sayı değerleri verilmelidir. z=10 için x+5y=4 olur, pozitif tam sayı çözümü yoktur. z=9 için x+5y=10 olur. y=1 seçilirse x=5 olur. (x,y,z) = (5,1,9) tüm koşulları sağlar. Bu nedenle z'nin en büyük değeri 9'dur.

İşlem önceliğine göre:
1. Parantez içi: (5 - 2) = 3
2. Üslü ifade: 3² = 9
3. Çarpma ve bölme (soldan sağa): 36 ÷ 6 = 6, sonra 6 × 2 = 12
4. Çıkarma: 12 - 9 = 3