Denklem Çözme bilgi kartları

Denklemde bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa toplanır.
3x = 11 + 7
3x = 18
x = 18 / 3
x = 6

Sayıya x diyelim. Denklem şu şekilde kurulur:
5x - 10 = 3x
5x - 3x = 10
2x = 10
x = 5

Önce parantezler dağıtılır:
4a - 12 + 2a + 2 = 20
Benzer terimler toplanır:
6a - 10 = 20
6a = 30
a = 5

Rasyonel ifadelerde toplama yapmak için paydalar eşitlenir.
(4x + 3x) / 12 = 14
7x / 12 = 14
7x = 14 * 12
7x = 168
x = 24

Denklemlerde x, y, a gibi harflerle temsil edilen ve değeri aranan ifadelere değişken denir.

Denklem şu şekilde kurulur: 2x + 7 = 31. Buradan 2x = 24 bulunur ve her iki taraf 2'ye bölündüğünde x = 12 olur.

Bilinmeyenler bir tarafa, bilinenler diğer tarafa toplanır: 7a - 3a = 11 + 9. Bu da 4a = 20 denklemini verir. Sonuç olarak a = 5 bulunur.

Genel kural olarak, n tane bilinmeyeni olan bir denklem sistemini kesin olarak çözebilmek için birbirinden bağımsız n tane denkleme ihtiyaç duyulur.

Bu tür denklemlerde içler dışlar çarpımı yapılır: 3(x + 5) = 2(x - 1). Dağılma özelliği uygulandığında 3x + 15 = 2x - 2 elde edilir. Buradan x = -17 bulunur.

Önce paydalar eşitlenir (6'da). Denklem 3x/6 - 2(x - 1)/6 = 2 haline gelir. Düzenlendiğinde (3x - 2x + 2)/6 = 2 olur. Buradan x + 2 = 12 ve sonuç olarak x = 10 bulunur.

Küçük sayıya x dersek, büyük sayı 3x + 4 olur. Denklemi kurarsak: x + (3x + 4) = 40. Buradan 4x = 36 ve x = 9 bulunur.

Paydaları 6'da eşitleyelim: 2 * 2(x - 3) - 3 * (x + 1) = 6. İşlemi yaparsak: 4x - 12 - 3x - 3 = 6. Buradan x - 15 = 6 ve x = 21 bulunur.

Bilinmeyenleri bir tarafa, sabitleri diğer tarafa toplayalım: ax - bx = b - a. Sol tarafı x parantezine alalım: x(a - b) = -(a - b). Her iki tarafı (a - b)'ye bölersek, x = -1 sonucuna ulaşılır.

Sayıları n, n+2, n+4 olarak isimlendirelim. Toplamları: n + (n+2) + (n+4) = 81. Buradan 3n + 6 = 81, 3n = 75 ve n = 25 (en küçük sayı). En büyük sayı ise n+4 = 25+4 = 29'dur.

Parantezleri dağıtalım: 5y - 10 - 3y + 12 = 8. Denklemi sadeleştirelim: 2y + 2 = 8. Buradan 2y = 6 ve y = 3 bulunur.

Parantezler dağıtılır: 3x - 12 - 2 + 2x = x + 6. Sol taraf düzenlenir: 5x - 14 = x + 6. Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa toplanır: 4x = 20 ve buradan x = 5 bulunur.

Sol taraf düzenlendiğinde 6a + 8 - 5 = 6a + 3 olur. Bu da 6a + 3 = 6a + 3 özdeşliğine eşittir. Bu durum, 'a' değişkeninin alabileceği tüm reel sayılar için denklemin sağlandığını gösterir.

İçler dışlar çarpımı yapılır: 2y + 1 = 5 * 3. Bu işlem sonucunda 2y + 1 = 15 denklemi elde edilir. 1 karşıya atılırsa 2y = 14 ve her iki taraf 2'ye bölündüğünde y = 7 bulunur.

Oğulun yaşına 'x' dersek, babanın yaşı '4x - 5' olur. Yaşları toplamı: x + (4x - 5) = 55. Buradan 5x - 5 = 55, 5x = 60 ve x = 12 (oğlun yaşı) bulunur. Babanın yaşı: 4(12) - 5 = 48 - 5 = 43'tür.

Parantezler dağıtılır: mx - m = nx + n. x'li terimler bir tarafa, sabitler diğer tarafa toplanır: mx - nx = m + n. x parantezine alınır: x(m - n) = m + n. Son olarak x yalnız bırakılır: x = (m+n)/(m-n).

Paydalar 6'da eşitlenir. 3(x-1)/6 + 2(x+1)/6 = 4 olur. Paylar toplanır: (3x - 3 + 2x + 2) / 6 = 4. Buradan 5x - 1 = 24 denklemi elde edilir. 5x = 25 ve sonuç olarak x = 5 bulunur.

4/(x-2) terimi denklemin sağına atılırsa 1 = 6/(x-2) - 4/(x-2) olur. Buradan 1 = 2/(x-2) elde edilir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında x-2 = 2 ve x=4 bulunur. Bulunan x=4 değeri paydayı sıfır yapmadığı için çözüm kümesine dahildir.

Sıra sayısına s diyelim. Öğrenci sayısı iki durumda da eşittir.
1. Durum: 2s + 5
2. Durum: 3(s - 2)
2s + 5 = 3s - 6 denklemi çözüldüğünde s = 11 (sıra sayısı) bulunur. Öğrenci sayısı ise 2(11) + 5 = 27'dir.

Denklemin sol tarafı 4x - 4 + 5 = 4x + 1 olur. Sağ tarafı ise 4x + 2 - 1 = 4x + 1 olur. Denklem 4x + 1 = 4x + 1 şekline gelir. Bu bir özdeşliktir. Dolayısıyla, x yerine hangi gerçel sayı konulursa konulsun eşitlik sağlanır.

Bir denklemin her x gerçel sayısı için sağlanması, denklemin bir özdeşlik olması anlamına gelir. Bunun için x'in katsayısı ve sabit terim sıfıra eşit olmalıdır.
a-2 = 0 ise a = 2
b+3 = 0 ise b = -3
a + b = 2 + (-3) = -1 olur.

Dağılma özelliği uygulanır: (6y - 3) - (4y - 8) = 11. Parantezler kaldırılırken işaretlere dikkat edilir: 6y - 3 - 4y + 8 = 11. Benzer terimler birleştirilir: 2y + 5 = 11. Sabit terim karşıya atılır: 2y = 6. Son olarak y yalnız bırakılır: y = 3.

Veli'nin bilye sayısına x diyelim. Bu durumda Ali'nin bilye sayısı 2x - 5 olur. İkisinin toplam bilye sayısı x + (2x - 5) = 40 denklemidir. Buradan 3x - 5 = 40, 3x = 45 ve x = 15 bulunur. Bu Veli'nin bilye sayısıdır. Ali'nin bilye sayısı ise 2(15) - 5 = 30 - 5 = 25 tanedir.

a = 1/(x-1) ve b = 1/(y+1) değişken değiştirmesi yapalım. Denklemler a + 2b = 5 ve 3a - b = 1 olur. İkinci denklemi 2 ile çarpıp toplayarak b'leri yok ederiz: (a + 2b) + (6a - 2b) = 5 + 2, buradan 7a = 7 yani a = 1 bulunur. 1/(x-1) = 1 ise x=2 olur. a=1'i yerine koyarsak 1+2b=5'ten b=2 olur. 1/(y+1) = 2 ise 2y+2=1 ve y = -1/2 bulunur. Sonuç olarak x · y = 2 · (-1/2) = -1'dir.

Bir denklemin her x gerçel sayısı için sağlanması (bir özdeşlik olması) için, x'in katsayısı ve sabit terimin her ikisi de sıfır olmalıdır.

1. m - 4 = 0 olmalıdır, buradan m = 4 bulunur.
2. 5n - 10 = 0 olmalıdır, buradan 5n = 10 ve n = 2 bulunur.

Sonuç olarak m + n = 4 + 2 = 6 olur.

Denklemde içler dışlar çarpımı yapılır: 2(2x + 1) = 3(x + 5). Eşitliğin iki tarafına dağılma özelliği uygulanır: 4x + 2 = 3x + 15. Bilinmeyenler bir tarafa, bilinenler diğer tarafa toplanır: 4x - 3x = 15 - 2. Sonuç olarak x = 13 bulunur.

Silginin fiyatına x dersek, kalemin fiyatı x+2 olur. Denklem şu şekilde kurulur: 5(x+2) + 3x = 46. Denklem çözüldüğünde 8x = 36 ve x = 4,5 bulunur.

Önce iç parantez dağıtılır: 3[x - 2 + 2x] = 4x + 11. Sonra parantez içi toplanır: 3[3x - 2] = 4x + 11. Köşeli parantez dağıtılır: 9x - 6 = 4x + 11. Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa toplandığında 5x = 17 ve x = 17/5 sonucu elde edilir.

İki denklem taraf tarafa toplanırsa z değişkeni yok olur.
(x + 2y - z) + (2x + y + z) = 7 + 8
3x + 3y = 15 olur. Eşitliğin her iki tarafı 3'e bölündüğünde x + y = 5 bulunur.

Denklem düzenlenir: a/x - b/x = b - a. Sol taraf ortak paydada yazılır: (a-b)/x = -(a-b). a ≠ b olduğundan (a-b) terimleri sadeleştirilebilir: 1/x = -1. Buradan x = -1 bulunur.

Kesirli terimler bir araya toplanır: 5/(a+3) - 2/(a+3) = 1. Bu işlem 3/(a+3) = 1 sonucunu verir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında 3 = a + 3 ve dolayısıyla a = 0 bulunur. Bu değer paydayı sıfır yapmadığı için çözüm kümesine dahildir.

Deponun tamamının kapasitesine x diyelim. Başlangıçtaki su miktarı x/3'tür. 100 litre eklendiğinde miktar x/3 + 100 olur ve bu deponun yarısına (x/2) eşittir. Denklem: x/3 + 100 = x/2. Buradan 100 = x/2 - x/3 bulunur. Paydalar eşitlenirse 100 = (3x - 2x) / 6 yani 100 = x/6 olur. Sonuç olarak x = 600 bulunur.

Denklemdeki 1/(x-3) terimi sol tarafa atılırsa 3/(x-3) - 1/(x-3) = 2/(x-2) olur. Bu da 2/(x-3) = 2/(x-2) şekline gelir. Paylar eşit olduğu için paydaların da eşit olması gerekir: x-3 = x-2. Ancak bu eşitlik -3 = -2 gibi bir çelişkiye yol açar. Bu nedenle denklemi sağlayan bir x değeri yoktur.

Önce en içteki parantez açılır: 5x - [2x - x - 4] = 16. Köşeli parantez içi düzenlenir: 5x - [x - 4] = 16. Köşeli parantez açılır (önündeki eksiye dikkat edilerek): 5x - x + 4 = 16. Denklem 4x + 4 = 16 olur. Buradan 4x = 12 ve sonuç olarak x = 3 bulunur.

İkinci denklemden x = 6y ilişkisi bulunur. Bu ifade, birinci denklemdeki x yerine yazılır: (6y) - 2y = 8. Buradan 4y = 8 ve y = 2 elde edilir. x = 6y olduğu için x = 6(2) = 12 olur. Toplamları x + y = 12 + 2 = 14'tür.

Denklemin kökü, denklemi sağlayan değer demektir. Bu yüzden denklemde x gördüğümüz yere 5 yazarız: 3(5) - a = 2(5 + 1). İşlemler yapılır: 15 - a = 2(6) => 15 - a = 12. Buradan a değeri 3 olarak bulunur.

Bir telin ucundan x kadar kesilirse orta noktası x/2 kadar kayar. Kesilen parça telin 1/5'i yani L/5 olduğuna göre, kayma miktarı (L/5)/2 = L/10 olur. L/10 = 6 ise L = 60 cm'dir.

Denklemin (a - 2)x = b + 3 şeklinde düzenlenmesiyle, çözümün olmaması için x'in katsayısının sıfır (a-2=0), sabit terimin ise sıfırdan farklı (b+3 ≠ 0) olması gerekir. Bu şartlar a=2 ve b ≠ -3 anlamına gelir.

Denklemde x yerine 2 yazılır: (a+1)·2 - 3 = 11. Buradan 2a + 2 - 3 = 11 olur. 2a - 1 = 11 ise 2a = 12 ve a = 6 bulunur.

Verilen üç denklem taraf tarafa toplandığında 4x + 4y + 4z = 40 elde edilir. Her taraf 4'e bölündüğünde x + y + z = 10 bulunur.

İki denklem taraf tarafa toplanırsa 4x = 16 yani x = 4 bulunur. Herhangi bir denklemde x yerine 4 yazılırsa y = 3 elde edilir. Çarpımları x · y = 4 · 3 = 12'dir. Düzeltme: 4+y=7 ise y=3. x·y = 4·3 = 12. Bekle, bir hata var. 3(4) - y = 9 -> 12-y=9 -> y=3. 4+3=7. Doğru. Cevap 12 olmalı. Yeni kart yapalım: x+2y = 8 ve 3x-2y = 4 ise x kaçtır? Taraf tarafa topla: 4x=12, x=3. Bu daha iyi. x=3 ise 3+2y=8, 2y=5, y=2.5. Çarpım 7.5. Daha temiz sayılarla yapalım. 2x+y=11 ve x-y=4. Topla: 3x=15, x=5. 5-y=4, y=1. x·y=5. Bu daha güzel.
Yeni Kart:2x + y = 11
x - y = 4
denklem sistemini sağlayan x · y çarpımı kaçtır?

Denklemdeki parantezler dağıtılır: 3x + 3 - 10 + 2x = 8. Sonra bilinenler ve bilinmeyenler bir araya toplanır: 5x - 7 = 8. Buradan 5x = 15 ve x = 3 bulunur.

İkinci denklemde paydalar eşitlenirse (y+x)/(xy) = 5/6 elde edilir. x+y toplamının 5 olduğu bilindiği için yerine konulur: 5/(xy) = 5/6. Bu eşitlikten xy = 6 bulunur.

İlk mutlak değer |2(x-3)| = 2|x-3| olarak yazılabilir. Denklem 2|x-3| + |x-3| = 12 yani 3|x-3| = 12 olur. Buradan |x-3| = 4 bulunur. Bu da x-3 = 4 veya x-3 = -4 demektir. Kökler x₁=7 ve x₂=-1'dir. Toplamları 7 + (-1) = 6'dır.

Önce paydadaki 1 - 1/x işlemi (x-1)/x olarak düzenlenir. Denklem 2 - x/(x-1) = 3 haline gelir. Buradan -x/(x-1) = 1 ve -x = x-1 elde edilir. Çözümde 2x = 1 yani x = 1/2 bulunur.

Ali'nin bir günde yaptığı iş 1/12, Burak'ın yaptığı iş 1/24'tür. Birlikte 1/12 + 1/24 = 3/24 = 1/8 iş yaparlar. 4 günde işin 4 * (1/8) = 1/2'sini bitirirler. Kalan iş 1/2'dir. Burak kalan işi (1/2) / (1/24) = 12 günde bitirir.