Bağıntı ve Fonksiyon bilgi kartları

Bağıntı, en genel tanımıyla iki kümenin elemanları arasındaki herhangi bir ilişkiyi ifade eder ve bu matematiksel olarak kartezyen çarpımın bir alt kümesiyle gösterilir.

A'dan B'ye bağıntı sayısı, A x B kartezyen çarpımının alt küme sayısına eşittir. s(A x B) = s(A) * s(B) = 3 * 4 = 12. Alt küme sayısı 2ⁿ formülüyle bulunur, yani 2¹²'dir.

Yansıma özelliği için A kümesindeki her x elemanı için (x,x) elemanının bağıntıda olması gerekir. β bağıntısında (3,3) elemanı bulunmadığı için yansıma özelliği yoktur.

Bu iki şart, bir bağıntının aynı zamanda bir fonksiyon olup olmadığını belirlemek için kritik öneme sahiptir.

Bire bir fonksiyon olması için tanım kümesindeki farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması gerekir. Ancak f(-2) = 5 ve f(2) = 5'tir. Farklı elemanlar (-2 ve 2) aynı görüntüye (5) sahip olduğu için fonksiyon bire bir değildir.

Fonksiyonun kuralında x görülen yere 3 yazılarak sonuç hesaplanır. Bu, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmanın temel yöntemidir.

Rasyonel ifadelerde fonksiyonu tanımsız yapan değer, paydayı sıfır yapan değerdir. 2x - 8 = 0 denklemini sağlayan x=4 değeri tanım kümesinden çıkarılır.

f(x)'i bulmak için fonksiyonda x yerine, parantez içindeki ifadenin tersi olan (x - 3) yazılır. f(x) = 2(x - 3) + 7 = 2x - 6 + 7 = 2x + 1.

A'dan B'ye bağıntı sayısı 2^{s(A x B)}, fonksiyon sayısı ise s(B)^s(A) formülü ile bulunur. İstenen sonuç bu iki değerin farkıdır.

Örneğin, β = {(1,2), (2,1), (3,3)} bağıntısı simetriktir çünkü (1,2)'nin tersi olan (2,1) de kümede mevcuttur. (3,3)'ün tersi kendisidir.

Birim fonksiyon f(x) = x olduğundan, x'in katsayısı olan (a - 2) ifadesi 1'e, sabit terim olan (b - 5) ifadesi ise 0'a eşit olmalıdır. Buradan a = 3 ve b = 5 bulunur. Toplamları 3 + 5 = 8 olur.

(fog)(x), f(g(x)) anlamına gelir. f fonksiyonundaki her x yerine g(x) fonksiyonunun kuralı olan (x + 4) yazılır. f(x + 4) = 3(x + 4) - 1 = 3x + 12 - 1 = 3x + 11 bulunur.

A'dan B'ye örten fonksiyon sayısı içerme-dışarma prensibi ile bulunur. C(3,0)·3⁴ - C(3,1)·2⁴ + C(3,2)·1⁴ - C(3,3)·0⁴ = 1·81 - 3·16 + 3·1 - 1·0 = 81 - 48 + 3 = 36.

Geçişme özelliği, (x,y) ∈ β ve (y,z) ∈ β iken (x,z) ∈ β olmasını gerektirir. Verilen bağıntıda (a,b) ve (b,c) varken, (a,c) elemanı da mevcuttur. Bu şartı sağladığı için geçişkendir.

Fonksiyonun içindeki (2x - 1) ifadesinin tersi olan (x+1)/2 bulunur ve bu ifade, eşitliğin sağ tarafındaki x yerine yazılır. f(x) = 6((x+1)/2) + 5 = 3(x+1) + 5 = 3x + 3 + 5 = 3x + 8.

Sabit fonksiyonda değişkenin (x'in) katsayısı sıfır olmalıdır. Bu nedenle, m - 3 = 0 denklemi çözülerek m = 3 bulunur.

Bir fonksiyonun tersini bulmak için, f(x) yerine y yazılır ve x yalnız bırakılır: y = 2x - 6 → y + 6 = 2x → x = (y + 6) / 2. Son adımda x ile y'nin yerleri değiştirilir: y = (x + 6) / 2.

s(A) = m ve s(B) = n (n ≥ m) olmak üzere, A'dan B'ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyon sayısı P(n, m) permütasyonu ile hesaplanır. P(6, 4) = 6! / (6-4)! = 6 * 5 * 4 * 3 = 360.

(gof)(3) ifadesi, g(f(3)) anlamına gelir. Önce f(3) hesaplanır: f(3) = 3² = 9. Ardından bu sonuç g fonksiyonunda yerine konulur: g(9) = 9 + 1 = 10.

Ters simetri özelliği, bir bağıntıda (a, b) varken a ≠ b olmak şartıyla (b, a)'nın olmamasını gerektirir. (x, x) gibi elemanlar ters simetriyi bozmaz.

Sabit fonksiyonda değişkenin (x) katsayıları sıfır olmalıdır. Bu yüzden a + 4 = 0 ve b - 2 = 0 olmalıdır. Buradan a = -4 ve b = 2 bulunur. Fonksiyon f(x) = a·b = (-4)·(2) = -8 olur. x ne olursa olsun sonuç değişmez.

Fonksiyonun tanım kümesi paydayı sıfır yapan değeri içermez, yani 2x - 8 = 0 → x = 4. O halde a=4'tür. Değer kümesi ise fonksiyonun tersinin paydasını sıfır yapan değeri içermez. f^-1(x) = (8x+6)/(2x-4) olduğundan 2x-4=0 → x=2. O halde b=2'dir. Toplamları a+b = 4+2=6 olur.

A'dan B'ye örten fonksiyon sayısı içerme-dışarma prensibi ile bulunur:
C(3,3)·3⁵ - C(3,2)·2⁵ + C(3,1)·1⁵
= 1·243 - 3·32 + 3·1
= 243 - 96 + 3 = 150

(fof)(2) demek f(f(2)) demektir. Fonksiyon tanımına göre f(2) = 4'tür. Şimdi f(4)'ü bulmalıyız. f(4) = 2'dir. Dolayısıyla sonuç 2'dir.

Verilen ifade f(x) = (x + 1)³ özdeşliğidir. Fonksiyonun tersini bulmak için y = (x + 1)³ ifadesinde x yalnız bırakılır. ³√y = x + 1 olur ve buradan x = ³√y - 1 bulunur. Son adımda x ve y yer değiştirilir: y = ³√x - 1.

Bir kümede tanımlanabilecek toplam bağıntı sayısı 2^n² formülüyle bulunur. Yansıyan bağıntı sayısı ise 2^n²-n formülüyle bulunur. Bu durumda toplam bağıntı sayısı 2^4x4 = 2¹⁶ ve yansıyan bağıntı sayısı 2^16-4 = 2¹²'dir. Yansıyan olmayanların sayısı, toplam sayıdan yansıyanların sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

(fof)(x) = f(f(x)) demektir. f(x) yerine 3x+k yazarsak, f(3x+k) olur. Fonksiyon kuralında x yerine 3x+k yazarsak: 3(3x + k) + k = 9x + 3k + k = 9x + 4k olur. Bu ifade 9x - 8'e eşit olduğundan, 4k = -8 ve k = -2 bulunur.

f(1) için x=1 değeri x<2 koşuluna uyar, bu yüzden f(1) = 3(1) - 1 = 2'dir. f(3) için x=3 değeri x≥2 koşuluna uyar, bu yüzden f(3) = 3² + 1 = 10'dur. Toplamları 2 + 10 = 12 eder.

Bir bağıntının denklik bağıntısı olması için yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağlaması gerekir.
1. Yansıma: Her x için x-x=0, 3'e bölünür.
2. Simetri: x-y, 3'e bölünüyorsa -(x-y) = y-x de 3'e bölünür.
3. Geçişme: x-y=3k ve y-z=3m ise x-z = (x-y)+(y-z) = 3k+3m = 3(k+m) de 3'e bölünür. Tüm özellikleri sağladığı için denklik bağıntısıdır.

Bu tür sorularda iki bilinmeyenli denklem sistemi kurulur. Önce denklemde x=2 yazılır: f(2) + 2f(-2) = 12. Sonra x=-2 yazılır: f(-2) + 2f(2) = -12. İkinci denklem -2 ile çarpılıp birinci denklemle taraf tarafa toplanırsa f(-2) terimleri yok olur ve -3f(2) = 36 bulunur, buradan da f(2) = -12 elde edilir.

Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. (fog)(x) = f(g(x)) = (3x + 2) - 5 = 3x - 3 iken, (gof)(x) = g(f(x)) = 3(x - 5) + 2 = 3x - 13 olur. Görüldüğü gibi sonuçlar farklıdır.

f(2) değerini bulmak için fonksiyonun içini 2'ye eşitlememiz gerekir. x / (x+1) = 2 ⇒ x = 2(x+1) ⇒ x = 2x + 2 ⇒ -x = 2 ⇒ x = -2. Bulduğumuz x = -2 değerini eşitliğin sağ tarafında yerine yazarız: f(2) = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7.

Bir fonksiyonun örten olması, değer kümesinin görüntü kümesine eşit olması demektir. f(x) = (ax + b) / (cx + d) şeklindeki bir fonksiyonun görüntü kümesi, ters fonksiyonunun tanım kümesidir ve R - {a/c} kuralı ile bulunur. Bu fonksiyonda a=4 ve c=1 olduğundan, görüntü kümesi R - {4/1} yani R - {4} olur.

1. f(1) için tek bir seçenek vardır: a.
2. f bire bir olduğu için f(2)'nin değeri a olamaz. Ayrıca f(2) ≠ b koşulu verilmiş. Bu yüzden f(2) için B kümesindeki {c, d, e} elemanlarından biri seçilebilir. Yani 3 seçenek vardır.
3. f(3)'ün değeri ise hem f(1)'in değerinden (a) hem de f(2)'nin seçilen değerinden farklı olmalıdır. B kümesinde 5 eleman vardı, 2 tanesi kullanıldığı için f(3)'e 3 seçenek kalır.

Çarpma kuralına göre, toplam fonksiyon sayısı 1 * 3 * 3 = 9'dur.

Simetri özelliği için, bağıntıdaki her (x,y) elemanı için (y,x) elemanının da bağıntıda olması gerekir. (2,3) elemanı β'dadır, ancak (3,2) elemanı β'da değildir. Bu nedenle bağıntı simetrik değildir.

f(g(x)) = (g(x))² + 1 olarak yazılır. Bu ifade 4x² - 12x + 10'a eşittir. Dolayısıyla, (g(x))² + 1 = 4x² - 12x + 10 olur. Buradan (g(x))² = 4x² - 12x + 9 bulunur. Bu ifade (2x - 3)²'nin açılımıdır. O halde g(x) = 2x - 3 veya g(x) = -(2x - 3) = -2x + 3 olabilir.

Toplam yansıyan bağıntı sayısı 2n²-n formülüyle 23²-3 = 2⁶ = 64'tür. Hem yansıyan hem simetrik bağıntı sayısı 2(n²-n)/2 formülüyle 2(9-3)/2 = 2³ = 8'dir. Yansıyan olup simetrik olmayanların sayısı bu iki değerin farkıdır: 64 - 8 = 56.

Yatay doğru testi, bir fonksiyonun bire bir olup olmadığını anlamak için kullanılır. Eğer bir yatay doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, farklı x değerleri için aynı y değeri elde ediliyor demektir ve bu fonksiyon bire bir değildir.

x² + 1/x² ifadesini (x + 1/x)² - 2 olarak yazabiliriz. Bu durumda fonksiyon f(x + 1/x) = (x + 1/x)² - 2 + 5 = (x + 1/x)² + 3 olur. Burada x + 1/x yerine a değişkenini kullanırsak, f(a) = a² + 3 kuralını elde ederiz. Soruda f(3) sorulduğundan, a=3 için f(3) = 3² + 3 = 12 bulunur.

Önce g(5) değerini bulmalıyız. g⁻¹(x) = x + 4 ise g(x) = x - 4'tür. Bu durumda g(5) = 5 - 4 = 1 olur. Soru f(g(5)) yani f(1)'e dönüşür. f(1) = 3(1) - 2 = 1 olarak bulunur.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir. Yani, s(A x B) = s(A) · s(B) = 4 · 5 = 20.

Tanım kümesindeki her bir elemanın görüntü kümesinde yalnızca bir karşılığı olup olmadığını kontrol eder. Çizilen her dikey doğru, grafiği en fazla bir noktada kesmelidir.

Bir bağıntının hem simetrik hem de ters simetrik olması, yalnızca (x, x) şeklindeki elemanları içerebileceği anlamına gelir. Bu durumda bağıntı, A kümesinin köşegen bağıntısının bir alt kümesi olabilir. En fazla A kümesinin eleman sayısı kadar, yani 4 elemanlı olabilir: β ⊆ {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}.

Verilen liste tanımına göre, 2'nin görüntüsü 5'tir (f(2)=5) ve 3'ün görüntüsü 7'dir (f(3)=7). Bu durumda toplamları 5 + 7 = 12 olur.

Adım adım hesaplanır:

• f(2) = 1 · f(1) = 1 · 2 = 2
• f(3) = 2 · f(2) = 2 · 2 = 4
• f(4) = 3 · f(3) = 3 · 4 = 12

Bir fonksiyon ile tersinin grafikleri her zaman y = x doğrusuna göre birbirinin yansımasıdır. Bu durum, (a, b) noktasının f üzerinde olmasının, (b, a) noktasının f⁻¹ üzerinde olması anlamına gelmesinden kaynaklanır.

Bir fonksiyonun tek fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki her x için f(-x) = -f(x) olmalıdır. Polinom fonksiyonlarında bu, sadece tek dereceli terimlerin bulunması anlamına gelir. Bu yüzden çift dereceli terim olan x²'nin katsayısı sıfır olmalıdır.

• a - 3 = 0 ⇒ a = 3
• Fonksiyon f(x) = (3 + 1)x = 4x haline gelir.
• Sorulan f(a) değeri, f(3)'tür.
• f(3) = 4 * 3 = 12 olarak bulunur.

s(A) = n ise toplam bağıntı sayısı 2^n²'dir. s(A)=3 için toplam 2⁹=512 bağıntı vardır.
Yansıyan bağıntı sayısı: Köşegen elemanları kesinlikle bulunmalı. Kalan n²-n = 6 eleman için 2⁶=64 tanedir.
Yansımayan (irreflexive) bağıntı sayısı: Köşegen elemanlarından hiçbiri bulunmamalı. Kalan 6 eleman için yine 2⁶=64 tanedir.
Ne yansıyan ne de yansımayan bağıntı sayısı = Toplam - (Yansıyan + Yansımayan) = 512 - (64 + 64) = 384'tür.

Bir fonksiyonun kendisi ile tersinin bileşkesi birim fonksiyonu (I(x) = x) verir. Yani, (fof^-1)(a) = a'dır. Bu durumda 'a' yerine (x + 5) ifadesi gelmiştir. Dolayısıyla sonuç doğrudan x + 5 olur.

Bu soruda f^-1 fonksiyonunu bulmak yerine bileşke fonksiyon özelliğini kullanmak daha pratiktir.
(f^-1og)(11) = a ise, f(a) = g(11)'dir.
Önce g(11) bulunur: g(11) = 11 - 1 = 10.
Böylece f(a) = 10 olur.
f(a) tanımından a² + 2a = 10 bulunur. Soru zaten doğrudan bu ifadenin değerini sormaktadır.