Üslü Sayılar bilgi kartları

Negatif bir sayının parantez dışındaki çift kuvveti her zaman pozitiftir. Dolayısıyla, işlem 3⁴'e eşittir, bu da 81'dir.

Bir üslü ifadenin sonucunun 1 olabilmesi için (taban 0, 1 veya -1 değilse) üssünün sıfır olması gerekir. Bu nedenle, x - 2 = 0 denklemi çözülür ve x = 2 bulunur.

Üsler aynı olduğunda tabanlar çarpılır: (2 ⋅ 5)¹⁰ = 10¹⁰. Bu sayı, 1'in yanında 10 tane sıfır olduğu anlamına gelir. Toplamda 11 basamaklıdır.

Önce parantez içi yapılır. 7^-1 = 1/7 ve 7⁰ = 1'dir. Toplamları (1/7 + 1) = 8/7 olur. Bu sonucun -1. kuvveti, sayının çarpmaya göre tersini almak demektir: (8/7)^-1 = 7/8.

Bu tür sorularda sayılar ortak tabanda yazılır. 27 = 3³ ve 9 = 3²'dir.
(3³)³ = 3⁹
(3²)⁵ = 3¹⁰
Katını bulmak için bölme yapılır: 3⁹ / 3¹⁰ = 3^9-10 = 3^-1.

Bir kesrin negatif üssü alındığında, kesir ters çevrilir ve üs pozitif yapılır. Yani (5/1)² = 25 olur.

Tabanlar aynıysa üsler de eşit olmalıdır. 243 sayısı 3'ün 5. kuvvetidir (3⁵). Bu durumda, x+2 = 5 denklemi çözülür ve x=3 bulunur.

Üslerin EBOB'u olan 15'e göre üsleri eşitleriz:

• a = (2⁴)¹⁵ = 16¹⁵
• b = (3³)¹⁵ = 27¹⁵
• c = (5²)¹⁵ = 25¹⁵

Üsler eşit olduğundan, tabanı küçük olan sayı daha küçüktür. Sıralama: 16¹⁵ < 25¹⁵ < 27¹⁵, yani c < a < b.

İşaretleri ve üsleri ayrı ayrı inceleyelim.
İşaret: (-) ⋅ (-) ⋅ (+) = (+)
Tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır: a² ⋅ a³ ⋅ a^-4 = a^2+3-4 = a¹ = a.

Sıfır hariç herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti her zaman 1'e eşittir. Örneğin, 5⁰ = 1, (-100)⁰ = 1.

Bir kesrin negatif üssü alındığında kesir ters çevrilir (pay ve payda yer değiştirir) ve üs pozitif olur. Yani, (3/2)³ olur. Bu da 3³ / 2³ = 27/8 sonucunu verir.

Eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar aynı sayının kuvveti olarak yazılır. 4 = 2² ve 8 = 2³'tür. Bu durumda (2²)^x+1 = (2³)^x-1 olur. Üssün üssü çarpılacağından, 2^2x+2 = 2^3x-3 elde edilir. Tabanlar aynı olduğu için üsler de eşit olmalıdır: 2x + 2 = 3x - 3. Denklem çözüldüğünde x = 5 bulunur.

İfadeyi 3^x cinsinden yazmaya çalışalım.

• 27^x = (3³)^x = (3^x)³ = 5³ = 125
• 3^x+2 = 3^x ⋅ 3² = 5 ⋅ 9 = 45

İki sonucun toplamı: 125 + 45 = 170.

Toplama yapabilmek için üslerin aynı olması gerekir. 0.2 ⋅ 10^-3 ifadesini 2 ⋅ 10^-4 olarak yazabiliriz. Pay kısmı (3 ⋅ 10^-4 + 2 ⋅ 10^-4) = 5 ⋅ 10^-4 olur. İşlem (5 ⋅ 10^-4) / 10^-5 haline gelir. Bölmede üsler çıkarılır: 5 ⋅ 10^{-4 - (-5)} = 5 ⋅ 10¹ = 50.

Önce 3^x ifadesini a cinsinden bulalım: 3^x / 3 = a ise 3^x = 3a. Şimdi istenen ifadeyi düzenleyelim: 9^x+1 = 9^x ⋅ 9¹ = (3²)^x ⋅ 9 = (3^x)² ⋅ 9. Bulduğumuz 3^x = 3a değerini yerine koyarsak: (3a)² ⋅ 9 = 9a² ⋅ 9 = 81a².

Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma yapmak için taban ve üslerin aynı olması gerekir. 2^x+1 ifadesi 2 ⋅ 2^x olarak yazılır. Ardından 2^x ortak parantezine alınır: 2^x(5 + 3 - 2) = 2^x(6).

(0.4)^x ondalık sayısı kesre çevrilir: 0.4 = 4/10 = 2/5. Dolayısıyla, (2/5)^x = 2^x / 5^x olur. Verilen değerler yerine yazıldığında a/b sonucu bulunur.

Bir üslü ifadenin 1'e eşit olması için üç durum vardır:

1. Üs 0 olabilir: x²-16=0 ⇒ x=4 veya x=-4. (Bu değerler tabanı 0 yapmaz)
2. Taban 1 olabilir: x-3=1 ⇒ x=4. (Bu değer zaten bulundu)
3. Taban -1 ve üs çift olabilir: x-3=-1 ⇒ x=2. Üssü kontrol edelim: 2²-16 = -12 (çift). Bu da sağlar.

Farklı x değerleri {-4, 2, 4} olup toplamları -4+2+4 = 2'dir.

Taban (3/5) 0 ile 1 arasında basit bir kesir olduğu için, üsler arasındaki sıralama yapılırken eşitsizlik yön değiştirir. Yani, 2x - 4 ≥ x + 1 olur. Buradan x ≥ 5 bulunur. Bu koşulu sağlayan en küçük tamsayı 5'tir.

Her terim ayrı ayrı hesaplanır:

• 3^-2 = 1/3² = 1/9
• (-2)³ = (-2)⋅(-2)⋅(-2) = -8

İki sonucun toplamı: 1/9 + (-8) = 1/9 - 72/9 = -71/9.

Eşitliğin sağ tarafı 1/8 = 1/2³ = 2^-3 olarak yazılır. Tabanlar eşit olduğundan üsler de eşit olmalıdır: x - 5 = -3. Buradan x = 2 bulunur.

İfadeyi 5^x cinsinden yazalım: 5^x+2 = 5^x ⋅ 5² ve 25^x = (5²)^x = (5^x)². Verilen değeri yerine koyarsak: (2 ⋅ 25) - (2)² = 50 - 4 = 46.

Tabanlar (2/3) olarak eşitlenir: ((2/3)²)^x+3 < ((3/2)³)^1-x ⇒ (2/3)^2x+6 < ((2/3)^-3)^1-x ⇒ (2/3)^2x+6 < (2/3)^3x-3. Taban 0 ile 1 arasında olduğu için eşitsizlik yön değiştirir: 2x + 6 > 3x - 3. Buradan 9 > x bulunur. En büyük tamsayı değeri 8'dir.

Sayıyı 10'un kuvveti şeklinde yazmaya çalışırız. 8⁴ = (2³)⁴ = 2¹² ve 25⁶ = (5²)⁶ = 5¹². Bu durumda, 2¹² ⋅ 5¹² = (2⋅5)¹² = 10¹². Bu sayı 1'in yanında 12 sıfır içerir, yani toplam 13 basamaklıdır.

Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini aldırır: (1/4)^-2 = 4² = 16. Negatif bir sayının tek kuvveti negatiftir: (-2)³ = -8. Toplamları: 16 + (-8) = 8.

Sayıların işaretleri ve değerleri bulunur:

• a = (-2)¹² = 2¹² (Parantezin çift kuvveti sonucu pozitif yapar.)
• b = -4⁸ = -(2²)⁸ = -2¹⁶ (Kuvvet sadece 4'e aittir, sonuç negatiftir.)
• c = (-8)⁵ = -8⁵ = -(2³)⁵ = -2¹⁵ (Tek kuvvet sonucu negatif yapar.)

a pozitif olduğu için en büyüktür. Negatif sayılardan -2¹⁶, -2¹⁵'ten daha küçük olduğu için sıralama b < c < a olur.

(0,2) ondalık sayısı 1/5 rasyonel sayısına eşittir. Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssüne eşittir. Dolayısıyla, (1/5)^-3 = (5/1)³ = 5³ = 125.

5 ve 7 aralarında asal sayılar olduğu için, bu eşitlik ancak üslerin 0'a eşit olması durumunda sağlanır.

• x + y - 3 = 0 => x + y = 3
• x - y - 9 = 0 => x - y = 9

İki denklem taraf tarafa toplanırsa 2x = 12, yani x = 6 bulunur. Herhangi bir denklemde x yerine 6 yazılırsa 6 + y = 3, yani y = -3 bulunur. İstenen ifade: x² - y² = 6² - (-3)² = 36 - 9 = 27.

Sol taraf 5^x ortak parantezine alınır: 5^x(3 + 4 - 2) = 125.
5^x ⋅ 5 = 125
5^x+1 = 5³
Tabanlar eşit olduğu için üsler de eşitlenir: x + 1 = 3 ve buradan x = 2 bulunur.

Verilen denklemler üslü olarak yeniden yazılır: 2^x = 3² ve 3^y = 2³. İlk denklemde her iki tarafın y. kuvveti alınırsa (2^x)^y = (3²)^y olur. Bu ifade 2^xy = (3^y)² şeklinde düzenlenebilir. İkinci denklemdeki 3^y = 2³ değeri yerine konulursa, 2^xy = (2³)² = 2⁶ elde edilir. Tabanlar eşit olduğundan üsler de eşit olmalıdır: x ⋅ y = 6.

Sol tarafta 4 tane 4^x'in toplamı vardır, bu 4 ⋅ 4^x olarak yazılır. Bu ifade 4¹ ⋅ 4^x = 4^x+1'e eşittir. Eşitlik 4^x+1 = 4⁸ haline gelir. Tabanlar aynı olduğu için üsler eşitlenir: x + 1 = 8, buradan x = 7 bulunur.

2 saat = 120 dakikadır. 120 / 20 = 6 kez bölünme gerçekleşir. Başlangıçtaki bakteri sayısı 27 = 3³'tür. 6 bölünme sonunda bakteri sayısı 3³ ⋅ 3⁶ = 3³⁺⁶ = 3⁹ olur.

x = 2y denklemi, x^y = y^x denkleminde yerine konulur: (2y)^y = y^2y. İfade 2^y ⋅ y^y = y^2y olur. Her iki taraf y^y'ye bölünürse 2^y = y^y kalır. y pozitif tamsayı olduğundan y=2 olmalıdır. Buradan x = 2(2) = 4 bulunur. x + y = 4 + 2 = 6'dır.

Üslü sayılarda çıkarma işlemi bölme anlamına gelir: 2^2a-b = 2^2a / 2^b. Ayrıca (2^a)² = 2^2a'dır. Verilen ifadeler yerine konulursa (2^a)² / 2^b = x² / y elde edilir.

Katsayılar kendi arasında (5 ⋅ 3 = 15), üslü kısımlar kendi arasında (10⁸ ⋅ 10^-5 = 10³) çarpılır. Sonuç 15 ⋅ 10³ olur. Bilimsel gösterim için katsayı 1 ile 10 arasında olmalıdır, bu yüzden 1,5 ⋅ 10⁴ olarak yazılır.

Tabanlar eşitlenir: 3^4x-1 = (3³)^x+2. Üsler birbirine eşitlenir: 4x-1 = 3(x+2) → 4x-1 = 3x+6. Denklem çözüldüğünde x=7 bulunur.

Sayı 10'un kuvveti şeklinde yazılmalıdır:
A = (2²)⁷ ⋅ (5³)⁴ = 2¹⁴ ⋅ 5¹²
A = 2² ⋅ 2¹² ⋅ 5¹² = 4 ⋅ (2⋅5)¹² = 4 ⋅ 10¹².
Bu, 4'ün yanında 12 tane sıfır demektir. Dolayısıyla sayı 13 basamaklıdır.

Bir üslü ifadenin 1'e eşit olması için 3 durum vardır:

1. Üs 0 olabilir: x²-x-12=0 → (x-4)(x+3)=0 → x=4, x=-3.
2. Taban 1 olabilir: x-5=1 → x=6.
3. Taban -1 ve üs çift sayı olabilir: x-5=-1 → x=4. Üs: 4²-4-12=0 (çift sayı).

Farklı x değerleri {-3, 4, 6} olup toplamları -3+4+6 = 7'dir.

İstenen ifade üslü sayıların özellikleri kullanılarak parçalanır:
3^2m-1 = 3^2m / 3¹
Ayrıca, 3^2m = (3^m)² şeklinde yazılabilir.
3^m yerine 2 yazarsak: (2)² / 3 = 4/3.

Öncelikle ondalık sayı kesre çevrilir: 0,5 = 1/2.
İfade (1/2)^-3 olur. Negatif üs, tabandaki kesrin pay ve paydasını yer değiştirir: (2/1)³.
Sonuç 2³ = 8'dir.

Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssüne eşittir. Yani, (81/16)^-1/2 = (16/81)^1/2 olur. 1/2 üssü ise karekök anlamına gelir. Dolayısıyla, √(16/81) = 4/9 bulunur.

Üslü sayılarda toplama/çıkarma işlemi için ifade ortak çarpan parantezine alınır.
2^x⋅2⁴ - 2^x⋅2² = 48
16⋅2^x - 4⋅2^x = 48
2^x(16 - 4) = 48
12⋅2^x = 48
2^x = 4
x = 2

6 ve 15 aralarında asal sayılar değildir, ancak ortak çarpanları (3) dışında farklı asal çarpanlara (2 ve 5) sahiptirler.
(2⋅3)^x-2 = (3⋅5)^y+1
2^x-2 ⋅ 3^x-2 = 3^y+1 ⋅ 5^y+1
Bu eşitliğin tamsayılarda sağlanmasının tek yolu, tüm üslerin sıfır olmasıdır.
x-2=0 ⇒ x=2
y+1=0 ⇒ y=-1
x+y = 2+(-1) = 1

Sayıların değerleri hesaplanır:
a = (-5)² = 25 (Parantezin çift kuvveti pozitiftir)
b = -5² = -25 (Kuvvet sadece 5'in üzerindedir, işaret etkilenmez)
c = (-5)³ = -125 (Negatif sayının tek kuvveti negatiftir)
Bu durumda sıralama -125 < -25 < 25, yani c < b < a şeklindedir.

Kökler üslü ifadeye çevrilir ve tabanlar eşitlenir.
( (2²)^x-1 )^1/3 = ( (2³)^x )^1/2
2^(2x-2)/3 = 2^3x/2
Tabanlar eşit olduğundan üsler de eşittir:
(2x-2)/3 = 3x/2
4x-4 = 9x
-4 = 5x
x = -4/5

0,125 ondalık sayısı 125/1000 olarak yazılır, bu da 1/8'e eşittir. 1/8 ise 2^-3 demektir. Bu durumda, (2^-3)^-1/3 = 2^{(-3) ⋅ (-1/3)} = 2¹ = 2 bulunur.

Sıralama yapabilmek için ya tabanları ya da üsleri eşitlemek gerekir. Üslerin (48, 36, 24) en büyük ortak böleni 12'dir. Üsleri 12'de eşitleyelim:

• a = (2⁴)¹² = 16¹²
• b = (3³)¹² = 27¹²
• c = (5²)¹² = 25¹²

Tabanları karşılaştırdığımızda 16 < 25 < 27 olduğu için doğru sıralama a < c < b şeklinde olur.

İfadeyi 3^x ortak parantezine alalım:
3^x ⋅ (3¹ - 3^-1 + 1) = 33
3^x ⋅ (3 - 1/3 + 1) = 33
3^x ⋅ (11/3) = 33
3^x = 33 ⋅ (3/11) = 9
3^x = 3² olduğundan x = 2 bulunur.

16 basamaklı en küçük doğal sayı 10¹⁵'tir (1'in yanında 15 tane sıfır).
10¹⁵ = (2 ⋅ 5)¹⁵ = 2¹⁵ ⋅ 5¹⁵.
Bu durumda, 2^x ⋅ 5^y = 2¹⁵ ⋅ 5¹⁵ eşitliğinden x = 15 ve y = 15 bulunur.
Toplamları x + y = 15 + 15 = 30'dur.

2^a = 3^b eşitliğinde her iki tarafın üssünü 1/b ile çarpalım: (2^a)^1/b = (3^b)^1/b.
Bu işlem sonucunda 2^a/b = 3 elde edilir.
Sorulan ifade 4^a/b = (2²)^a/b = (2^a/b)² şeklindedir.
2^a/b yerine 3 yazdığımızda, sonuç 3² = 9 olur.