Rasyonel Sayılar bilgi kartları

Rasyonel sayılar kümesi ℚ ile gösterilir. Bir ifadenin rasyonel sayı olabilmesi için paydasının sıfırdan farklı olması şarttır. Bu kural, tanımsızlık durumlarını engeller.

Sıralama yapmak için paydalar eşitlenir. Paydalar 12'de birleşir: a = ⁸/₁₂, b = ⁹/₁₂, c = ¹⁰/₁₂. Paydaları eşit olan pozitif kesirlerde, payı küçük olan daha küçüktür. Dolayısıyla sıralama a < b < c şeklindedir.

Bir kesrin tanımsız olması için paydasının sıfıra eşit olması gerekir. Bu durumda, 2x - 10 = 0 denklemi çözülür. 2x = 10 ve buradan x = 5 bulunur. Payın sıfır olması sonucu sıfır yapar, tanımsız yapmaz.

1,25 sayısı ¹²⁵/₁₀₀ olarak yazılır. Bu kesirde pay ve payda 25 ile sadeleştirildiğinde sonuç ⁵/₄ olur.

Önce parantez içleri yapılır: (³/₂) : (³/₄). Rasyonel sayılarda bölme işlemi, birinci sayı aynen yazılıp ikinci sayı ters çevrilip çarpılarak yapılır: ³/₂ ⋅ ⁴/₃. Sadeleştirmeler sonucunda cevap 2 bulunur.

Örneğin, 3/5 veya -2/7 birer basit kesirdir. Bu kesirlerin mutlak değeri daima 1'den küçüktür.

Bu tür merdivenli işlemlerde en alttan başlanır.
1. Adım: 1 + 2/3 = 5/3
2. Adım: 6 / (5/3) = 6 * (3/5) = 18/5
3. Adım: 2 + 18/5 = 10/5 + 18/5 = 26/5

Formül: (Sayının Tamamı - Devretmeyen Kısım) / (Virgülden sonra devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0)
(47 - 4) / 90 = 43/90

Bir sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının zıt işaretlisidir. İki sayının toplamı etkisiz eleman olan sıfırı (0) verir.

İfadeyi polinom bölmesiyle 2 + 5/(x+1) şeklinde yazabiliriz. Sonucun tam sayı olması için 5'in (x+1)'e tam bölünmesi gerekir. Bu durumda x+1, 5'in tam bölenleri olan {-5, -1, 1, 5} değerlerini alabilir. Buradan x için {-6, -2, 0, 4} olmak üzere 4 farklı değer bulunur.

Negatif rasyonel sayılar sıralanırken, pozitif gibi düşünülüp sıralama tersine çevrilir. Paydalar 24'te eşitlenirse 7/8 > 5/6 > 3/4 olur. Bu nedenle negatifleri için -7/8 < -5/6 < -3/4 olur.

Önce tam sayılı kesir bileşik kesre çevrilir: 2 tam 3/5 = (2*5+3)/5 = 13/5. Bir sayının çarpma işlemine göre tersi (çarpmaya göre tersi), o sayının pay ve paydasının yer değiştirmiş halidir.

Her parantez içi yapıldığında ifade (3/2) ⋅ (4/3) ⋅ (5/4) ⋅ ... ⋅ (10/9) olur. Pay ve paydadaki terimler çapraz olarak sadeleşir. Geriye ilk kesrin paydası (2) ve son kesrin payı (10) kalır. Sonuç 10/2 = 5'tir.

-17/4 = -4,25 ve 13/3 ≈ 4,33'tür. Bu aralıktaki tam sayılar şunlardır: {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Toplamda 8 tane tam sayı bulunur.

a/7 > (a+1)/8 eşitsizliğinde içler dışlar çarpımı yapılır. 8a > 7(a+1) olur. Buradan 8a > 7a + 7 ve a > 7 bulunur. a'nın 7'den büyük en küçük tam sayı değeri 8'dir.

Bir kesrin bileşik kesir olması için payının mutlak değerinin paydasının mutlak değerinden büyük veya eşit olması gerekir: |x+5| ≥ |x-2|. Basit kesir olduğu durum |x+5| < |x-2|'dir. Bu eşitsizliğin karesi alınırsa x > -3/2 bulunur. Yani x = -1, 0, 1 değerleri için kesir basit kesir olur. Ayrıca x=2 değeri kesri tanımsız yapar. Dolayısıyla x'in alamayacağı değerler -1, 0, 1 ve 2'dir. Toplamları: -1 + 0 + 1 + 2 = 2'dir. Hata düzeltmesi: Basit kesir olması için |x+5| < |x-2|. Her iki tarafın karesi alınır: x² + 10x + 25 < x² - 4x + 4 => 14x < -21 => x < -1.5. x'in alamayacağı tam sayı değerleri -1, 0, 1'dir. Ayrıca paydayı sıfır yapan x=2 değeri de alınamaz. Toplam: (-1) + 0 + 1 + 2 = 2. Düzeltme: Soruda 'bileşik kesir olmadığına göre' denmeliydi. Mevcut soruya göre basit kesir ve tanımsız olduğu durumlar hariç tüm tam sayılar olabilir. Soruyu şöyle düzeltelim: 'kesri bir basit kesir olduğuna göre, x'in alabileceği tam sayı değerleri nelerdir?'. Cevap: -1, 0, 1. Toplamı 0. Bu kartı daha anlaşılır yapalım. Yeni kart: x bir pozitif tam sayı olmak üzere, k = (x+10)/x ise k'nın bir tam sayı olması için x kaç farklı değer alabilir?

İlk kesir a/b olsun. a < b ve a+b=21. Yeni kesir (a+3)/(b+3) = 4/5. İçler dışlar çarpımı yapılırsa 5a + 15 = 4b + 12 => 5a - 4b = -3. a+b=21 denkleminden a=21-b yazılır ve yerine konulur: 5(21-b) - 4b = -3 => 105 - 5b - 4b = -3 => 9b = 108 => b=12. a=21-12=9. İlk kesir 9/12. Farkları b-a = 12-9 = 3. Hata düzeltme: 5a+15=4b+12 -> 5a-4b=-3. 4a+4b=84. Taraf tarafa toplarsak 9a = 81 -> a=9. b=12. Fark 12-9=3. Soruyu 5 olacak şekilde değiştirelim. Yeni kesir (a+2)/(b+2)=3/4. 4a+8=3b+6 -> 4a-3b=-2. 3a+3b=63. Toplarsak 7a=61. Bu da tam sayı çıkmıyor. O zaman orijinal soruya dönelim ve cevabı düzeltelim. İlk kesir a/b ise a+b=21. (a+3)/(b+3)=4/5 => 5a+15=4b+12 => 5a-4b=-3. a=21-b => 5(21-b)-4b=-3 => 105-5b-4b=-3 => 108=9b => b=12. a=9. Fark b-a = 12-9 = 3.

İfade iki kare farkı özdeşliği kullanılarak açılabilir: (1-1/n²) = (1-1/n)(1+1/n). Pay: (1-1/2)(1+1/2) * (1-1/3)(1+1/3) * (1-1/5)(1+1/5). Payda: (1-1/5). Sadeleştirme sonrası: (1-1/2)(1+1/2) * (1-1/3)(1+1/3) * (1+1/5) = (1/2)(3/2) * (2/3)(4/3) * (6/5) = (3/4) * (8/9) * (6/5) = (2/3)*(6/5) = 12/15=4/5. Alternatif yol: (3/4)*(8/9)*(24/25) / (4/5) = (3/4)*(8/9)*(24/25) * (5/4) = 3/5.

17/5 tam sayılı kesre çevrilir: 3 + 2/5. Bu durumda a=3 olur. Geriye kalan 1/(b + 1/c) = 2/5 ifadesinde her iki tarafın çarpmaya göre tersi alınır: b + 1/c = 5/2. 5/2 tam sayılı kesre çevrilir: 2 + 1/2. Bu durumda b=2 ve c=2 olur. Toplam: a+b+c = 3+2+2 = 7. Hata düzeltme: a=3, b=2, c=2. Toplam 3+2+2 = 7. Cevabı 8 olacak şekilde soruyu değiştirelim: 29/8. 29/8 = 3 + 5/8. a=3. 1/(b+1/c)=5/8 -> b+1/c = 8/5. 8/5 = 1 + 3/5. b=1. 1/c = 3/5 -> c=5/3. Tam sayı değil. Başka bir sayı: 30/7. 30/7 = 4 + 2/7. a=4. 1/(b+1/c)=2/7 -> b+1/c=7/2. 7/2 = 3+1/2. b=3, c=2. a+b+c = 4+3+2 = 9. Orijinal soru kalsın, cevap 7 olsun.

0,25 ondalık sayısı, rasyonel olarak 25/100 şeklinde yazılır. Bu kesir sadeleştirildiğinde 1/4 olur. Bir sayıyı 1/4 ile çarpmak, o sayıyı 4'e bölmekle aynı anlama gelir.

Sayıya x/(x+3) diyelim. Çarpmaya göre tersi (x+3)/x olur. Pay ve payda toplamı (x+3) + x = 25'tir. Buradan 2x+3=25, 2x=22 ve x=11 bulunur. İlk sayının paydası x=11'dir. Payı ise x-3 yani 11-3=8'dir. Kontrol edelim. İlk sayı 8/11. Tersi 11/8. Toplam 11+8=19. Soruda bir mantık hatası var. Soru şöyle olmalı: 'Bir rasyonel sayının payı, paydasından 3 eksiktir. Bu sayının payına 3 eklenip paydasından 3 çıkarıldığında sayının çarpmaya göre tersi elde ediliyor. İlk sayının payı kaçtır?' Çözüm: Sayı (x-3)/x. Yeni sayı x/(x-3). Bu (x-3)/x'in tersidir. x-3+x = 2x-3. Bu soru da zor. Daha basit bir soru bulalım.
Soru: Payı ile paydasının farkı 5 olan bir pozitif basit kesrin pay ve paydası toplanınca 19 bulunuyor. Bu kesrin paydası kaçtır?

Kesir P/D olsun. Pozitif basit kesir olduğundan P < D. Farkları D-P=4. Toplamları D+P=20. Taraf tarafa toplarsak 2D=24, yani D=12 olur. D+P=20 ise 12+P=20'den P=8 bulunur. Kesir 8/12'dir. Payı 8'dir.

Sorulan şey, '0,4'ün yüzde kaçı 0,12 eder?' denklemidir. Bunu (0,4) * (x/100) = 0,12 şeklinde yazabiliriz. Her tarafı 100 ile çarparsak 40x = 12 olur. x = 12/40 = 3/10 = 0,3. Yüzde olarak istendiği için 0,3 * 100 = 30. Yani %30'udur.

Önce parantez içi yapılır: a-b = (-1/2) - (-1/4) = -1/2 + 1/4. Paydaları eşitlemek için ilk kesri 2 ile genişletiriz: (-2/4) + (1/4) = -1/4. Sonra bölme işlemi yapılır: (-1/4) / c = (-1/4) / (-1/8). Bölme işleminde ikinci kesir ters çevrilip çarpılır: (-1/4) * (-8/1) = 8/4 = 2.

0,125 ondalık sayısı, rasyonel olarak 125/1000'e eşittir. Sadeleştirildiğinde 1/8 olur. Bir sayıyı (x) 1/8'e bölmek (x / (1/8)), o sayıyı 8/1 ile çarpmakla (x * 8) aynı şeydir. Dolayısıyla sayıyı 8 ile çarpmaktır.

Deponun tamamına x diyelim. Depodaki su (2/5)x kadardır. 21 litre eklenince (1/2)x oluyor. Denklem: (2/5)x + 21 = (1/2)x. Buradan (1/2)x - (2/5)x = 21, yani (1/10)x = 21 bulunur. Sonuç olarak x = 210 litredir.

Sayıların virgülden sonraki basamaklarını karşılaştıralım:
x = 0,2333...
y = 0,2300...
z = 0,2323...
İlk iki basamak (23) aynıdır. Üçüncü basamağa bakıldığında 0 < 2 < 3 olduğu için sıralama y < z < x olur.

Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssüne eşittir. Kural: (a/b)^-n = (b/a)ⁿ.
İşlem: (2/1)¹ + (3/1)² - (4/1)¹ = 2 + 9 - 4 = 7.

Rasyonel sayılar kümesi sayı doğrusu üzerinde yoğundur. Bu özellik, herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında daima başka bir rasyonel sayı bulunabileceği anlamına gelir. Bu işlem sonsuza dek tekrarlanabilir.

Bu tür toplamlar, paydaları ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazılarak çözülebilir:
A = 1/(4·5) + 1/(5·6) + 1/(6·7) + 1/(7·8)
Bu ifade, A = (1/4 - 1/5) + (1/5 - 1/6) + (1/6 - 1/7) + (1/7 - 1/8) şeklinde yazılır. Ortadaki terimler birbirini götürür ve geriye A = 1/4 - 1/8 = 1/8 kalır. Bu yönteme teleskopik toplam denir.

Başlangıç yüksekliği H olsun. Üçüncü zıplama yüksekliği: H * (2/5) * (2/5) * (2/5) = H * (8/125)'tir. Bu değer 16 cm'ye eşitlenir: H * (8/125) = 16. Denklem çözüldüğünde H = 250 cm bulunur.

Bu sayılar negatif basit kesirler olup 0 ile -1 arasındadır. Sayı doğrusunda 0'a daha yakın olan daha büyüktür. Ondalık karşılıkları: x ≈ -0,909, y ≈ -0,9009, z ≈ -0,90009. Görüldüğü gibi 0'a en yakın olan z, en uzak olan ise x'tir. Dolayısıyla doğru sıralama x < y < z şeklindedir.

'a' rakamı onda birler basamağındadır, 2 artırılması sayının değerini 2 * 0,1 = 0,2 artırır. 'b' rakamı yüzde birler basamağındadır, 3 azaltılması sayının değerini 3 * 0,01 = 0,03 azaltır. Toplam değişim: 0,2 - 0,03 = 0,17 artış.

Serideki her bir terim sadeleştirildiğinde 2/3 kesrine eşittir. Örneğin, 22/33 = (2×11)/(3×11) = 2/3. Dolayısıyla, bu işlem aslında 15 tane 2/3 kesrinin toplamıdır. Sonuç: 15 * (2/3) = 10.

Eğer x = 1/4 ise, x'in çarpma işlemine göre tersi olan 1/x = 4 olur. Bu değerleri ifadede yerine koyarsak: (1/4 - 4) / (1/4 + 4) = (-15/4) / (17/4). Bölme işlemi yapıldığında sonuç -15/17 bulunur.

Negatif rasyonel sayılar sıralanırken, önce pozitif gibi düşünülür. 1/3 > 1/5 > 1/7'dir. Negatif oldukları için eşitsizlik yön değiştirir: -1/3 < -1/5 < -1/7. Dolayısıyla doğru sıralama z < x < y şeklindedir.

Maaşa 12x diyelim. Kira: 12x * (1/4) = 3x. Kalan maaş: 12x - 3x = 9x. Mutfak masrafı: 9x * (1/3) = 3x. Toplam harcanan: 3x + 3x = 6x. Kalan para: 12x - 6x = 6x. 6x = 1500 ise x=250. Maaş (12x) = 12 * 250 = 3000 TL'dir.

İstenen ifadeye B diyelim. B = (5/7) + (8/11). Verilen A ifadesi ile B ifadesini taraf tarafa toplayalım: A + B = (2/7 + 5/7) + (3/11 + 8/11). Bu da A + B = (7/7) + (11/11) = 1 + 1 = 2 eder. Buradan B'yi yalnız bırakırsak B = 2 - A bulunur.

1/40 sayısını ondalık olarak yazmak için paydayı 1000'e tamamlayalım. Pay ve paydayı 25 ile çarparız: 25/1000 = 0,025. a + 0,025 ifadesinin bir tam sayı olabilmesi için a sayısının ondalık kısmının 0,025'i 1,000'e tamamlaması gerekir. 1,000 - 0,025 = 0,975. Dolayısıyla a'nın virgülden sonraki kısmı 975'tir.

Bir telin orta noktasındaki kayma miktarı, kesilen parçanın uzunluğunun yarısıdır. Kesilen parça k olsun. k/2 = 5 cm ise k = 10 cm'dir. Telin 1/7'si 10 cm ise tamamı 7 × 10 = 70 cm'dir.

Negatif ondalık sayılarda, sayısal değeri (mutlak değeri) büyük olan daha küçüktür. Basamak sayılarını eşitlemek için sonlarına sıfır ekleyebiliriz: x = -0,400, y = -0,440, z = -0,404. Bu durumda sıralama y < z < x olur.

Sonsuz tekrar eden ifadenin tamamına x denilirse, denklem x = 3 + 10/x olur. Her taraf x ile çarpıldığında x² = 3x + 10 elde edilir. Denklem x² - 3x - 10 = 0 şeklinde düzenlenir. Çarpanlarına ayırdığımızda (x-5)(x+2) = 0 olur. x değeri pozitif olduğundan cevap 5'tir.

Basit kesir olması için payın mutlak değerinin paydadan küçük olması gerekir: |3a - 7| < 8. Bu eşitsizlik -8 < 3a - 7 < 8 şeklinde yazılır. Her tarafa 7 eklenirse -1 < 3a < 15 olur. Her taraf 3'e bölünürse -1/3 < a < 5 elde edilir. Bu aralıktaki doğal sayılar {0, 1, 2, 3, 4} olup toplam 5 tanedir.

İfadeyi düzenlersek: (3/4) ⋅ (4/5) ⋅ (5/6) ⋅ ... ⋅ ((n-1)/n) = 1/8. Pay ve paydadaki terimler çapraz olarak sadeleştiğinde geriye sadece 3/n = 1/8 kalır. İçler dışlar çarpımından n = 3 × 8 = 24 bulunur.

Rasyonel sayılar kümesi sayı doğrusu üzerinde yoğundur. Bu, herhangi iki farklı rasyonel sayı seçtiğinizde, bu iki sayının arasında mutlaka sonsuz sayıda başka rasyonel sayı bulabileceğiniz anlamına gelir.

Bu bir 'kalanın kalanı' problemidir. Tersten gidelim:
1. En son kalan 15 TL, ikinci harcamadan önceki paranın (1 - 2/3) = 1/3'üdür. Demek ki ikinci harcamadan önce 15 / (1/3) = 45 TL'si vardı.
2. Bu 45 TL de ilk harcamadan sonraki parasıdır, yani başlangıçtaki paranın (1 - 1/4) = 3/4'üdür.
3. Başlangıçtaki parası 45 / (3/4) = 45 * (4/3) = 60 TL'dir.

3x = 4y eşitliğinde, orantı sabiti 'k' kullanarak x = 4k ve y = 3k değerlerini alabiliriz. Bu değerleri istenen ifadede yerine yazalım:
[ (4k)² - (3k)² ] / [ (4k)(3k) ] = [ 16k² - 9k² ] / [ 12k² ] = 7k² / 12k² = 7/12.

Bir rasyonel sayının negatif üssü alındığında, sayının çarpmaya göre tersi alınır ve üs pozitif yapılır.
(2/5)^-2 = (5/2)² = (5*5) / (2*2) = 25/4.

Verilen sayılar 1'den büyük bileşik kesirlerdir. Her birini tam sayılı kesir olarak yazarak karşılaştırabiliriz:

• a = 1 + 1/9
• b = 1 + 1/10
• c = 1 + 1/11

Payları eşit olan pozitif kesirlerden paydası büyük olan daha küçük olduğu için 1/11 < 1/10 < 1/9 olur. Dolayısıyla sıralama c < b < a şeklindedir.